Em cada um dos casos, encontre (e interprete) a interseção da superfície \mathcal{S} com planos paralelos aos planos do sistema de coordenadas. Em seguida, indique a nomenclatura da superfície \mathcal{S}.
\mathcal{S}: 4 x^{2}-2 y^{2}+z^{2}-24 x-4 y+8 z+42=0

Passo 1

O enunciado dá a superfície quádrupla
\mathcal{S}:4x^{2}-2y^{2}+z^{2}-24x-4y+8z+42=0
e pede as curvas de interseção de \mathcal{S} com planos paralelos aos planos coordenados, além de identificar a superfície. Para isso vamos completar quadrados e levar a equação a uma forma canônica de quádricas.

Passo 2

Agrupando termos e completando quadrados:
4\bigl(x^{2}-6x\bigr)-2\bigl(y^{2}+2y\bigr)+(z^{2}+8z)+42=0.
Fazendo
x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9,\quad y^{2}+2y=(y+1)^{2}-1,\quad z^{2}+8z=(z+4)^{2}-16,
substituímos e obtemos
4(x-3)^{2}-36-2(y+1)^{2}+2+(z+4)^{2}-16+42=0 \;\Longrightarrow\; 4(x-3)^{2}-2(y+1)^{2}+(z+4)^{2}=8.
Dividindo por 8 chega-se à forma canônica
\frac{(x-3)^{2}}{2}-\frac{(y+1)^{2}}{4}+\frac{(z+4)^{2}}{8}=1.

Passo 3

Interseção com planos z=k (paralelos ao plano xy):
substituindo z=k na forma canônica antes de dividir por 8:
4(x-3)^{2}-2(y+1)^{2}+(k+4)^{2}=8 \;\Longleftrightarrow\; 4(x-3)^{2}-2(y+1)^{2}=8-(k+4)^{2}.
Para 8-(k+4)^{2}>0 é uma hipérbole em coordenadas (x,y). Se 8-(k+4)^{2}=0 degenera em duas retas; se 8-(k+4)^{2}<0 não há interseção real.

Passo 4

Interseção com planos y=k (paralelos ao plano xz):
4(x-3)^{2}+(z+4)^{2}-2(k+1)^{2}=8 \;\Longleftrightarrow\; 4(x-3)^{2}+(z+4)^{2}=8+2(k+1)^{2}>0.
Isso é sempre uma elipse em (x,z) para todo k\in\mathbb{R}.

Passo 5

Interseção com planos x=k (paralelos ao plano yz):
-2(y+1)^{2}+(z+4)^{2}+4(k-3)^{2}=8 \;\Longleftrightarrow\; (z+4)^{2}-2(y+1)^{2}=8-4(k-3)^{2}.
Para 8-4(k-3)^{2}>0 dá uma hipérbole em (y,z), para 8-4(k-3)^{2}=0 duas retas, e para 8-4(k-3)^{2}<0 nenhum ponto real.

Passo 6

Como na forma canônica aparecem dois termos quadráticos com sinal positivo e um com sinal negativo (coeficiente de (y+1)^{2} é negativo) e o lado direito é +1, trata-se de um hiperbolóide de uma folha cujo eixo está paralelo ao eixo y.

Resposta

  • Planos z=k: hipérboles (para \lvert k+4\rvert<2\sqrt{2}), degenerando em retas no limite e vazios fora dele.
  • Planos y=k: elipses (para todo k).
  • Planos x=k: hipérboles (para \lvert k-3\rvert<\sqrt{2}), degenerando em retas no limite e vazios fora dele.
  • Superfície \mathcal{S}: hiperbolóide de uma folha.

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