Em cada um dos casos, encontre (e interprete) a interseção da superfície
com planos paralelos aos planos do sistema de coordenadas. Em seguida, indique a nomenclatura da superfície
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície quádrupla
e pede as curvas de interseção de
com planos paralelos aos planos coordenados, além de identificar a superfície. Para isso vamos completar quadrados e levar a equação a uma forma canônica de quádricas.
Passo 2
Agrupando termos e completando quadrados:
Fazendo
substituímos e obtemos
Dividindo por
chega-se à forma canônica
Passo 3
Interseção com planos
(paralelos ao plano
):
substituindo na forma canônica antes de dividir por
:
substituindo
Para
é uma hipérbole em coordenadas
. Se
degenera em duas retas; se
não há interseção real.
Passo 4
Interseção com planos
(paralelos ao plano
):
Isso é sempre uma elipse em
para todo
.
Passo 5
Interseção com planos
(paralelos ao plano
):
Para
dá uma hipérbole em
, para
duas retas, e para
nenhum ponto real.
Passo 6
Como na forma canônica aparecem dois termos quadráticos com sinal positivo e um com sinal negativo (coeficiente de
é negativo) e o lado direito é
, trata-se de um hiperbolóide de uma folha cujo eixo está paralelo ao eixo
.
Resposta
- Planos
: hipérboles (para ), degenerando em retas no limite e vazios fora dele. - Planos
: elipses (para todo ). - Planos
: hipérboles (para ), degenerando em retas no limite e vazios fora dele. - Superfície
: hiperbolóide de uma folha.