Escreva as equações paramétricas para cada cônica.
\mathcal{C}: y^{2}-2 x+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas da cônica
y^{2}-2x+4y=0
Esse tipo de cônica é uma parábola; para parametrizá-la, vamos primeiro colocá-la em forma canônica completando quadrados.

Passo 2

Reescrevendo em x isolado, comece por completar o quadrado em y:
y^{2}+4y = (y+2)^{2}-4.
Substituindo na equação original:
(y+2)^{2}-4 \;-\;2x = 0
2x = (y+2)^{2}-4
x = \frac{1}{2}(y+2)^{2} - 2.

Passo 3

A forma
x = \frac{1}{2}(y+2)^{2} - 2
é a forma canônica de uma parábola de eixo paralelo ao eixo Ox, com vértice em (-2,-2). Agora basta escolher um parâmetro para y.

Passo 4

Tomando t\in\mathbb{R} e definindo
y = t,
substituímos na fórmula anterior para obter x:
x = \frac{1}{2}(t+2)^{2} - 2.

Resposta

\begin{cases} x(t) = \frac{1}{2}\,(t+2)^{2} - 2,\\\ y(t) = t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.

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