Em cada um dos casos, encontre (e interprete) a interseção da superfície \mathcal{S} com planos paralelos aos planos do sistema de coordenadas. Em seguida, indique a nomenclatura da superfície \mathcal{S}.
\mathcal{S}: y^{2}-4 z^{2}-4 x-6 y-24 z-31=0

Passo 1

O enunciado dá a superfície quártica
\mathcal{S}:\;y^{2}-4 z^{2}-4 x-6 y-24 z-31=0
e pede as interseções de \mathcal{S} com planos paralelos aos planos coordenados, além de nomear a superfície. Vamos usar completamento de quadrados para escrever \mathcal{S} em forma canônica.

Passo 2

Reescrevendo isolando x e completando quadrados em y e z:
-4x = -y^2 +4z^2 +6y +24z +31 \;\Longrightarrow\; x = \frac{y^2-6y}{4} - (z^2+6z) - \frac{31}{4}.
Como
y^2-6y = (y-3)^2 -9, \quad z^2+6z = (z+3)^2 -9,
temos
x = \frac{(y-3)^2 -9}{4} -\bigl((z+3)^2 -9\bigr) - \frac{31}{4} = \frac{(y-3)^2}{4} - (z+3)^2 -1,
ou seja
x+1 \;=\;\frac{(y-3)^2}{4} \;-\;(z+3)^2.

Passo 3

Interseção com planos x = k: basta substituir x=k em
\frac{(y-3)^2}{4} - (z+3)^2 = k+1.
Para cada k\neq -1 isso é uma hipérbole centrada em (y,z)=(3,-3); para k=-1 obtém-se o par de retas
\frac{y-3}{2} = \pm (z+3).

Passo 4

Interseção com planos y = c: da forma canônica
x+1 = \frac{(c-3)^2}{4} - (z+3)^2
vemos que, para cada constante c, a curva no plano (x,z) é uma parábola (coeficiente de (z+3)^2 não nulo e x aparece linear).

Passo 5

Interseção com planos z = d: similarmente
x+1 = \frac{(y-3)^2}{4} - (d+3)^2
é, para cada d, uma parábola no plano (x,y).

Resposta

A superfície \mathcal{S} é um paraboloide hiperbólico.

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