Em cada um dos casos, encontre (e interprete) a interseção da superfície \mathcal{S} com planos paralelos aos planos do sistema de coordenadas. Em seguida, indique a nomenclatura da superfície \mathcal{S}.
\mathcal{S}: 6 x^{2}+3 y^{2}+2 z^{2}+24 x-6 y-12 z+39=0

Passo 1

O enunciado dá a superfície quádricas
\mathcal{S}:\;6x^{2}+3y^{2}+2z^{2}+24x-6y-12z+39=0
e pede as interseções de \mathcal{S} com planos paralelos aos planos coordenados x=k, y=k e z=k. Para isso vamos reescrever \mathcal{S} numa forma padrão completando quadrados e depois, em cada caso, fixar uma coordenada constante para identificar o tipo de curva obtida.

Passo 2

Completemos quadrados em x, y e z:
6\bigl(x^{2}+4x\bigr)+3\bigl(y^{2}-2y\bigr)+2\bigl(z^{2}-6z\bigr)+39=0.
Note que
x^{2}+4x=(x+2)^{2}-4,\quad y^{2}-2y=(y-1)^{2}-1,\quad z^{2}-6z=(z-3)^{2}-9.
Substituindo,
6\bigl((x+2)^{2}-4\bigr)+3\bigl((y-1)^{2}-1\bigr)+2\bigl((z-3)^{2}-9\bigr)+39=0
6(x+2)^{2}+3(y-1)^{2}+2(z-3)^{2}-24-3-18+39=0
6(x+2)^{2}+3(y-1)^{2}+2(z-3)^{2}=6
Dividindo por 6, fica
\frac{(x+2)^{2}}{1}+\frac{(y-1)^{2}}{2}+\frac{(z-3)^{2}}{3}=1.

Passo 3

Interseção com o plano x=k. Substituindo x=k na forma padrão,
3(y-1)^{2}+2(z-3)^{2}=6-6(k+2)^{2}.
Se 6-6(k+2)^{2}>0, isto é |k+2|<1, a curva é uma elipse em z,y. Se |k+2|=1 reduz-se a um ponto e se |k+2|>1 não há interseção real.

Passo 4

Interseção com o plano y=k. Substituindo y=k,
6(x+2)^{2}+2(z-3)^{2}=6-3(k-1)^{2}.
Se |k-1|<\sqrt{2} a seção é uma elipse em x,z; se |k-1|=\sqrt{2} é ponto; se |k-1|>\sqrt{2} não há interseção.

Passo 5

Interseção com o plano z=k. Substituindo z=k,
6(x+2)^{2}+3(y-1)^{2}=6-2(k-3)^{2}.
Se |k-3|<\sqrt{3} obtemos elipse em x,y; se |k-3|=\sqrt{3} ponto; se |k-3|>\sqrt{3} vazia.

Passo 6

A forma padrão
\frac{(x+2)^{2}}{1}+\frac{(y-1)^{2}}{2}+\frac{(z-3)^{2}}{3}=1
mostra que \mathcal{S} é um elipsoide centrado em (-2,1,3) com semieixos de comprimentos 1, \sqrt{2} e \sqrt{3}.

Resposta

A superfície \mathcal{S} é um elipsoide cujo centro é (-2,1,3) e cujos semieixos têm comprimentos 1, \sqrt{2} e \sqrt{3}.

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