Em cada um dos casos, encontre (e interprete) a interseção da superfície
com planos paralelos aos planos do sistema de coordenadas. Em seguida, indique a nomenclatura da superfície
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície quádricas
e pede as interseções de
com planos paralelos aos planos coordenados
,
e
. Para isso vamos reescrever
numa forma padrão completando quadrados e depois, em cada caso, fixar uma coordenada constante para identificar o tipo de curva obtida.
Passo 2
Completemos quadrados em
,
e
:
Note que
Substituindo,
Dividindo por 6, fica
Passo 3
Interseção com o plano
. Substituindo
na forma padrão,
Se
, isto é
, a curva é uma elipse em
. Se
reduz-se a um ponto e se
não há interseção real.
Passo 4
Interseção com o plano
. Substituindo
,
Se
a seção é uma elipse em
; se
é ponto; se
não há interseção.
Passo 5
Interseção com o plano
. Substituindo
,
Se
obtemos elipse em
; se
ponto; se
vazia.
Passo 6
A forma padrão
mostra que
é um elipsoide centrado em
com semieixos de comprimentos
,
e
.
Resposta
A superfície
é um elipsoide cujo centro é
e cujos semieixos têm comprimentos
,
e
.