Escreva as equações paramétricas para cada cônica.
\mathcal{C}: x^{2}-4 y^{2}+2 x-8 y=7

Passo 1

O enunciado dá a cônica
\mathcal{C}:x^{2}-4y^{2}+2x-8y=7
e pede suas equações paramétricas. O conteúdo é classificação e redução de cônicas (hipérbole) via completar quadrados, e depois escolher uma parametrização adequada.

Passo 2

Vamos classificar a cônica. No polinômio geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+\dots, aqui A=1, B=0, C=-4. Calculamos
\Delta = B^{2}-4AC = 0^{2}-4\cdot1\cdot(-4)=16>0,
logo é uma hipérbole sem rotação de eixos.

Passo 3

Vamos completar quadrados em x e em y. Partimos de
x^{2}+2x \;-\;4\bigl(y^{2}+2y\bigr)=7.
Note que
x^{2}+2x = (x+1)^{2}-1, \quad y^{2}+2y = (y+1)^{2}-1,
então
x^{2}+2x -4(y^{2}+2y) =(x+1)^{2}-1 \;-\;4\bigl((y+1)^{2}-1\bigr) =(x+1)^{2}-4(y+1)^{2}+3.
A condição =7 fica
(x+1)^{2}-4(y+1)^{2}+3 =7 \;\Longrightarrow\; (x+1)^{2}-4(y+1)^{2}=4.

Passo 4

Colocando em forma canônica, dividimos por 4:
\frac{(x+1)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{1}=1.
Aqui a^{2}=4 ( a=2) e b^{2}=1 ( b=1), com centro em (-1,-1) e eixos paralelos a x e y.

Passo 5

Para a hipérbole \displaystyle\frac{X^{2}}{a^{2}}-\frac{Y^{2}}{b^{2}}=1 podemos usar duas parametrizações principais:
1. Trigonométrica real (abrange ambos os ramos):
definimos
X= a\operatorname{sec} t,\quad Y=b\tan t,\quad t\neq \frac{\pi}{2}+k\pi.
No nosso caso X=x+1, Y=y+1, a=2, b=1. Logo
x+1 = 2\operatorname{sec} t, \quad y+1 = \tan t,
que dá
\boxed{ x(t) = -1 + 2\operatorname{sec} t, \quad y(t) = -1 + \tan t, \quad t\neq \frac{\pi}{2}+k\pi. }
2. Parametrização com funções hiperbólicas (cada ramo isoladamente):
para o ramo direito ( X\ge a) usamos
X=a\operatorname{cosh} u,\quad Y=b\operatorname{sinh} u,\quad u\in\mathbb{R},
isto é
x+1 = 2\operatorname{cosh} u, \quad y+1 = \operatorname{sinh} u,
resultando em
x(u) = -1 + 2\operatorname{cosh} u, \quad y(u) = -1 + \operatorname{sinh} u, \quad u\in\mathbb{R}.
Para o ramo esquerdo ( X\le -a), basta trocar o sinal de X:
x+1 = -2\operatorname{cosh} u, \quad y+1 = \operatorname{sinh} u.

Resposta

Uma boa escolha unificada é
x(t) = -1 + 2\operatorname{sec} t,\quad y(t) = -1 + \tan t,\quad t\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi,
que descreve ambos os ramos da hipérbole.

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