Escreva as equações paramétricas para cada cônica.
Passo 1
O enunciado dá a cônica
e pede suas equações paramétricas. O conteúdo é classificação e redução de cônicas (hipérbole) via completar quadrados, e depois escolher uma parametrização adequada.
Passo 2
Vamos classificar a cônica. No polinômio geral
, aqui
,
,
. Calculamos
logo é uma hipérbole sem rotação de eixos.
Passo 3
Vamos completar quadrados em
e em
. Partimos de
Note que
então
A condição
fica
Passo 4
Colocando em forma canônica, dividimos por
:
Aqui
(
) e
(
), com centro em
e eixos paralelos a
e
.
Passo 5
Para a hipérbole
podemos usar duas parametrizações principais:
definimos
No nosso caso
,
,
,
. Logo
que dá
para o ramo direito (
isto é
resultando em
Para o ramo esquerdo (
), basta trocar o sinal de
:
Resposta
Uma boa escolha unificada é
que descreve ambos os ramos da hipérbole.