Em cada um dos casos que se seguem, encontre um δ tal que |f(x)-l|<ε para todo x satisfazendo 0<|x-a|<δ.
⋆ f(x)=x^4 ; l=a^4;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
limxto ax^4=a^4
usando a definição de limite: dado varepsilon>0, encontrar um de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<de<a, valha
l|f(x)-lr|=l|x^4-a^4r|<varepsilon

Passo 2

Fatoramos a diferença de potências:
l|x^4-a^4r|=l|x-ar|;l|x^3+x^2a+x,a^2+a^3r|

Passo 3

Para controlar o segundo fator, impomos também de<a<=1. Assim, se 0<|x-a|<1, então
lvert xrvert =lvert x-a+arvert <=|x-a|+|a|<1+|a|,
e portanto cada termo x^3,x^2a,x,a^2,a^3 tem módulo no máximo (|a|+1)^3. Logo
l|x^3+x^2a+x,a^2+a^3r|<=4,(|a|+1)^3

Passo 4

Combinando as duas estimativas:
l|x^4-a^4r|<=|x-a|;4,(|a|+1)^3
Para garantir l|x^4-a^4r|<varepsilon, basta ter
|x-a|<varepsilon4,(|a|+1)^3
Definimos então
de<a=min!l(1,;varepsilon4,(|a|+1)^3r)

Resposta

de<a=min!l(1,;varepsilon4,(|a|+1)^3r)

Exercícios relacionados