Em cada um dos casos que se seguem, encontre um
tal que
para todo
satisfazendo
.
;
Passo 1
O enunciado pede que mostremos, para cada
, como encontrar
tal que, sempre que
, valha
Aqui usamos a definição de limite
limxto1tfrac1x=1 .
Passo 2
Vamos escrever a diferença em função de
|x-1| :
Passo 3
Para controlar o denominador
|x| , impomos que
Então, se
0<|x-1|<de<a<=tfrac12 , temos
xinl(tfrac12,tfrac32r) e, portanto,
Isso dá
Passo 4
Queremos
2,|x-1|<epsilon . Basta garantir
Passo 5
Juntando as duas condições, escolhemos
Assim, sempre que
0<|x-1|<de<a , temos
l|tfrac1x-1r|<epsilon .