Em cada um dos casos que se seguem, encontre um δ tal que |f(x)-l|<ε para todo x satisfazendo 0<|x-a|<δ.
⋆ f(x)=1x ; a=1, l=1;

Passo 1

O enunciado pede que mostremos, para cada epsilon>0, como encontrar de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-1|<de<a, valha
l|f(x)-lr|=l|tfrac1x-1r|<epsilon
Aqui usamos a definição de limite limxto1tfrac1x=1.

Passo 2

Vamos escrever a diferença em função de |x-1|:
l|tfrac1x-1r| =l|tfrac1-xxr| =|x-1||x|

Passo 3

Para controlar o denominador |x|, impomos que
de<a<=tfrac12
Então, se 0<|x-1|<de<a<=tfrac12, temos xinl(tfrac12,tfrac32r) e, portanto,
|x|>tfrac12 Longrightarrow 1|x|<2
Isso dá
l|tfrac1x-1r| =|x-1||x| <2,|x-1|

Passo 4

Queremos 2,|x-1|<epsilon. Basta garantir
|x-1|<epsilon2

Passo 5

Juntando as duas condições, escolhemos
de<a=minltfrac12,;tfracepsilon2r
Assim, sempre que 0<|x-1|<de<a, temos l|tfrac1x-1r|<epsilon.

Resposta

de<a = minltfrac12,tfracepsilon2r.

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