Em cada um dos casos que se seguem, encontre um δ tal que |f(x)-l|<ε para todo x satisfazendo 0<|x-a|<δ.
f(x)=x^4+1x ; a=1, l=2.

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x)=x^4+1x,
no ponto a=1 com limite l=2, encontrar, dado varepsilon>0, um de<a>0 tal que
|f(x)-l|<varepsilon sempre que 0<|x-1|<de<a
O conteúdo é a definição varepsilon de<a de limite.

Passo 2

Vamos escrever
|f(x)-2| =l|x^4+1x-2r| =l|x^4-1+1x-1r| =l|x^4-1-x-1xr|
Fatorando x^4-1=(x-1)(x^3+x^2+x+1) obtemos
|f(x)-2| =l|x-1r|;l|x^3+x^2+x+1-1xr|

Passo 3

Para controlar o segundo fator, restringimos |x-1|<tfrac12. Assim xin(tfrac12,tfrac32) e então
x^3+x^2+x+1<= l(tfrac32r)^3+l(tfrac32r)^2+tfrac32+1 =3,375+2,25+1,5+1=8,125,
e também 1x<=2. Logo
l|x^3+x^2+x+1-tfrac1xr| <= 8,125+2=10,125
Assim
|f(x)-2|<= 10,125,|x-1|

Passo 4

Para garantir |f(x)-2|<varepsilon, basta ter
10,125,|x-1|<varepsilon Long<=ftrightarrow |x-1|<varepsilon10,125
Então podemos escolher
de<a=min!l(tfrac12,;varepsilon10,125r)

Resposta

boxedde<a=min!l(tfrac12,;varepsilon10,125r)

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