Consideremos um reservatório contendo V litros de água pura que começa a receber, a uma vazão constante de a litros por segundo, uma solução salina com concentração de c kg de sal por litro de solução. O reservatório disponha de um mecanismo que mantém a solução homogênea à medida que o reservatório enche. Suponhamos que, concomitantemente com a injeção de água salgada no reservatório, começa a ser retirada do reservatório a solução formada, à razão constante de a litros por segundo.
Determine a solução geral do problema acima.

Passo 1

O enunciado descreve um reservatório de volume constante V que recebe e retira solução à mesma vazão a. O que varia é a quantidade de sal dentro do reservatório. Para modelar esse tipo de problema usamos uma equação diferencial de balanço de massa: taxa de entrada de sal menos taxa de saída de sal gera a variação do sal acumulado.

Passo 2

Definimos x(t) como a quantidade de sal (em kg) presente no reservatório no instante t.
A taxa de entrada de sal é a vazão de entrada vezes a concentração da solução que entra, isto é acdot c.
A concentração no reservatório, assuma homogênea, é x(t)/V, e a vazão de saída é a, logo a taxa de saída de sal é
x(t)V,a
Portanto o balanço dá a equação diferencial
dxdt = a,c ;-;aV,x

Passo 3

Reconhecemos uma equação linear de 1ª ordem na forma
dxdt + aV,x = a,c
O fator integrante é e^integral (a/V),dt=e^(a/V)t. Multiplicando a equação por esse fator e integrando, obtemos a solução geral
x(t) = C,e^-tfracaVt + V,c,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Em termos da condição inicial x(0)=x0, a constante C é x0 - Vc. Assim a solução particular fica
x(t) = l(x0 - Vcr),e^-tfracaVt + Vc
E a concentração no reservatório é x(t)/V.

Resposta

x(t)=l(x(0)-Vcr),e^-tfracaVt+Vc

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