Consideremos um reservatório contendo
litros de água pura que começa a receber, a uma vazão constante de
litros por segundo, uma solução salina com concentração de
kg de sal por litro de solução. O reservatório disponha de um mecanismo que mantém a solução homogênea à medida que o reservatório enche. Suponhamos que, concomitantemente com a injeção de água salgada no reservatório, começa a ser retirada do reservatório a solução formada, à razão constante de
litros por segundo.
Determine a solução geral do problema acima.
Determine a solução geral do problema acima.
Passo 1
O enunciado descreve um reservatório de volume constante
que recebe e retira solução à mesma vazão
. O que varia é a quantidade de sal dentro do reservatório. Para modelar esse tipo de problema usamos uma equação diferencial de balanço de massa: taxa de entrada de sal menos taxa de saída de sal gera a variação do sal acumulado.
Passo 2
Definimos
como a quantidade de sal (em kg) presente no reservatório no instante
.
A taxa de entrada de sal é a vazão de entrada vezes a concentração da solução que entra, isto é .
A concentração no reservatório, assuma homogênea, é , e a vazão de saída é
, logo a taxa de saída de sal é
A taxa de entrada de sal é a vazão de entrada vezes a concentração da solução que entra, isto é
A concentração no reservatório, assuma homogênea, é
Portanto o balanço dá a equação diferencial
Passo 3
Reconhecemos uma equação linear de 1ª ordem na forma
O fator integrante é
. Multiplicando a equação por esse fator e integrando, obtemos a solução geral
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Em termos da condição inicial
, a constante
é
. Assim a solução particular fica
E a concentração no reservatório é
.