Se
e
não existem,
ou
podem existir?
Passo 1
O enunciado pergunta se, apesar de
e
não existirem, ainda assim pode existir
ou
. O conteúdo aqui é a noção de que a existência de limite de soma ou produto não exige a existência dos limites individuais — veremos exemplos.
Passo 2
Para mostrar que a soma pode ter limite mesmo que os dois limites não existam, considere
À medida que
, cada um oscila entre
e
sem convergir, logo
e
não existem. Porém
para todo
, de modo que
Passo 3
Para ver que o produto também pode ter limite, use
Novamente cada função oscila sem convergir em
, mas
e portanto
Passo 4
Esses exemplos mostram que, mesmo sem
nem
, é perfeitamente possível que
ou
existam.
Resposta
Sim. Por exemplo, para a soma use
e
, cuja soma vale zero e tem limite; para o produto use
e
, cujo produto vale 1 e tem limite.