Se lim x a f(x) e lim x a g(x) não existem, lim x a[f(x)+g(x)] ou lim x a f(x) g(x) podem existir?

Passo 1

O enunciado pergunta se, apesar de limxto af(x) e limxto ag(x) não existirem, ainda assim pode existir limxto a[f(x)+g(x)] ou limxto a[f(x),g(x)]. O conteúdo aqui é a noção de que a existência de limite de soma ou produto não exige a existência dos limites individuais — veremos exemplos.

Passo 2

Para mostrar que a soma pode ter limite mesmo que os dois limites não existam, considere
f(x)=sin!l(1x-ar), g(x)=-sin!l(1x-ar)
À medida que xto a, cada um oscila entre -1 e 1 sem convergir, logo limxto af(x) e limxto ag(x) não existem. Porém
f(x)+g(x)=0
para todo xneq a, de modo que
limxto a[f(x)+g(x)]=0

Passo 3

Para ver que o produto também pode ter limite, use
f(x)=sin!l(1x-ar), g(x)=csc!l(1x-ar)=1sin!l(1x-ar)
Novamente cada função oscila sem convergir em x=a, mas
f(x),g(x) =sin!l(tfrac1x-ar)cdotcsc!l(tfrac1x-ar)=1,
e portanto
limxto a[f(x),g(x)]=1

Passo 4

Esses exemplos mostram que, mesmo sem limxto af(x) nem limxto ag(x), é perfeitamente possível que limxto a[f(x)+g(x)] ou limxto a[f(x),g(x)] existam.

Resposta

Sim. Por exemplo, para a soma use f(x)=sinl(1/(x-a)r) e g(x)=-sinl(1/(x-a)r), cuja soma vale zero e tem limite; para o produto use f(x)=sinl(1/(x-a)r) e g(x)=cscl(1/(x-a)r), cujo produto vale 1 e tem limite.

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