5 Trace três pontos não colineares e obtenha uma circunferência que passe por esses três pontos.(2,0 pt)

Passo 1

O enunciado pede para escolher três pontos não colineares num plano e determinar a circunferência que passa por esses três pontos. O conteúdo principal é geometria analítica de círculos: vamos usar bissetrizes perpendiculares aos segmentos formados pelos pontos para achar o centro e depois calcular o raio.

Passo 2

Escolhemos três pontos simples e não colineares:
A=(0,0), B=(1,0) e C=(0,1).
Esses pontos não estão todos numa mesma reta, pois B não fica na reta AC.

Passo 3

Calculamos os pontos médios dos segmentos AB e AC:
O ponto médio de AB é
M_{AB} = \bigl(\tfrac{0+1}{2},\;\tfrac{0+0}{2}\bigr) = \bigl(\tfrac12,0\bigr),
e o ponto médio de AC é
M_{AC} = \bigl(\tfrac{0+0}{2},\;\tfrac{0+1}{2}\bigr) = \bigl(0,\tfrac12\bigr).

Passo 4

Agora achamos as equações das bissetrizes perpendiculares a AB e a AC.
  • O segmento AB tem direção horizontal (inclinação 0), então sua perpendicular é vertical. A bissetriz em M_{AB} é
x = \tfrac12.
  • O segmento AC tem direção vertical (inclinação infinita), então sua perpendicular é horizontal. A bissetriz em M_{AC} é
y = \tfrac12.

Passo 5

O centro O da circunferência é a interseção das duas bissetrizes:
\begin{cases} x = \tfrac12,\\\ y = \tfrac12. \end{cases}
Logo,
O = \bigl(\tfrac12,\tfrac12\bigr).

Passo 6

O raio r é a distância de O a qualquer um dos três pontos. Por exemplo, a distância até A=(0,0) é
r = \sqrt{\bigl(\tfrac12-0\bigr)^{2} + \bigl(\tfrac12-0\bigr)^{2}} = \sqrt{\tfrac14 + \tfrac14} = \sqrt{\tfrac12} = \tfrac{\sqrt2}{2}.

Passo 7

A equação canônica da circunferência de centro O=(\tfrac12,\tfrac12) e raio \tfrac{\sqrt2}{2} é
\bigl(x - \tfrac12\bigr)^{2} + \bigl(y - \tfrac12\bigr)^{2} = \Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr)^{2} \quad\Longrightarrow\quad \bigl(x - \tfrac12\bigr)^{2} + \bigl(y - \tfrac12\bigr)^{2} = \tfrac12.

Resposta

\bigl(x - \tfrac12\bigr)^{2} + \bigl(y - \tfrac12\bigr)^{2} = \tfrac12.

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