Encontre
e seu domínio, onde
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a composição das funções $ f \circ g $ e determinar o domínio dessa composição. As funções que temos são:
- $ f(x) = \ln(x) $ (a função logaritmo natural)
- $ g(x) = x^{2} - x - 2 $ (uma função quadrática)
Para resolver isso, vamos precisar saber como compor funções e entender o que cada função faz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ f \circ g $. Isso quer dizer que vamos substituir a função $ g(x) $ dentro da função $ f(x) $. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos substituir $ g(x) $ na função $ f(x) $:
Então, a composição $ f \circ g $ é:
Passo 4
Agora vamos determinar o domínio dessa composição. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida.
Para a função $ \ln(z) $, o argumento $ z $ deve ser maior que zero:
No nosso caso, $ z = x^{2} - x - 2 $, então:
Passo 5
Vamos resolver a desigualdade quadrática $ x^{2} - x - 2 > 0 $. Primeiro, encontramos as raízes da equação $ x^{2} - x - 2 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -1 $, e $ c = -2 $:
Então, as raízes são:
Passo 6
Com as raízes encontradas, vamos analisar os intervalos onde $ x^{2} - x - 2 > 0 $. Usamos as raízes para dividir a linha dos números em três intervalos:
- $ x < -1 $
- $ -1 < x < 2 $
- $ x > 2 $
Vamos testar um valor em cada intervalo:
- Para $ x < -1 $, por exemplo, $ x = -2 $:
- Para $ -1 < x < 2 $, por exemplo, $ x = 0 $:
- Para $ x > 2 $, por exemplo, $ x = 3 $:
Então, a desigualdade é verdadeira quando:
Passo 7
Portanto, o domínio da composição $ f \circ g $ é:
Resposta
A composição das funções é $ f \circ g = \ln(x^{2} - x - 2) $ e o domínio dessa composição é $ x < -1 $ ou $ x > 2 $.