Encontre f circ g e seu domínio, onde f(x)=ln x e g(x)=x^2-x-2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a composição das funções $ f \circ g $ e determinar o domínio dessa composição. As funções que temos são:
  • $ f(x) = \ln(x) $ (a função logaritmo natural)
  • $ g(x) = x^{2} - x - 2 $ (uma função quadrática)
Para resolver isso, vamos precisar saber como compor funções e entender o que cada função faz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ f \circ g $. Isso quer dizer que vamos substituir a função $ g(x) $ dentro da função $ f(x) $. Ou seja:
f circ g

Passo 3

Agora, vamos substituir $ g(x) $ na função $ f(x) $:
g(x)
Então, a composição $ f \circ g $ é:
f(x)

Passo 4

Agora vamos determinar o domínio dessa composição. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida.
Para a função $ \ln(z) $, o argumento $ z $ deve ser maior que zero:
x
No nosso caso, $ z = x^{2} - x - 2 $, então:
ln(z)

Passo 5

Vamos resolver a desigualdade quadrática $ x^{2} - x - 2 > 0 $. Primeiro, encontramos as raízes da equação $ x^{2} - x - 2 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
x^2 - x - 2 > 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -1 $, e $ c = -2 $:
x^2 - x - 2 = 0
Então, as raízes são:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a

Passo 6

Com as raízes encontradas, vamos analisar os intervalos onde $ x^{2} - x - 2 > 0 $. Usamos as raízes para dividir a linha dos números em três intervalos:
  1. $ x < -1 $
  2. $ -1 < x < 2 $
  3. $ x > 2 $
Vamos testar um valor em cada intervalo:
  • Para $ x < -1 $, por exemplo, $ x = -2 $: x^2 - x - 2 > 0
    - Para $ -1 < x < 2 $, por exemplo, $ x = 0 $:
    x < -1
  • Para $ x > 2 $, por exemplo, $ x = 3 $: -1 < x < 2
Então, a desigualdade é verdadeira quando:
x > 2

Passo 7

Portanto, o domínio da composição $ f \circ g $ é:
f circ g

Resposta

A composição das funções é $ f \circ g = \ln(x^{2} - x - 2) $ e o domínio dessa composição é $ x < -1 $ ou $ x > 2 $.

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