Em cada um dos casos a seguir, determine a solução da equação de Laplace no retângulo
que satisfaz as condições de Dirichlet indicadas.
Passo 1
O enunciado dá a equação de Laplace em
com condições de Dirichlet:
- Domínio:
. - Condições em
: - Condições nas bordas verticais:
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz
com as condições de contorno acima.
Passo 2
Método: separação de variáveis (explicado passo a passo).
Procuro soluções do tipo . Substituindo na PDE:
Procuro soluções do tipo
Dividindo por
(assumindo não triviais):
Cada termo depende de uma variável só, logo cada um deve ser igual a uma constante
:
Isso gera os ODEs
Agora uso as condições em
:
e
. Para existir solução não trivial precisamos de autovalores
. Os autovalores e autofunções são (problema clássico de Sturm–Liouville com Dirichlet):
Para cada
, a equação para
fica
cuja solução geral é
Passo 3
Portanto a solução geral (superposição das modos) é
Interpretação das constantes:
- Os
e serão ajustados para satisfazer as condições em e .
Aplicando:
onde
. Assim
são exatamente os coeficientes da série de Fourier seno de
:
Aplicando
:
onde
. Denotando os coeficientes de
por
(ou seja,
), obtemos para cada
:
Como
, isolamos
Uma forma muito prática (e elegante) de escrever a solução modal é usar a identidade de hiperbólicas que leva a
Isso é obtido substituindo
e reorganizando; essa forma já satisfaz
e
. Então
Essa expressão é muito útil porque reduz todo o problema a encontrar os coeficientes
e
.
Passo 4
Agora obtenho os coeficientes
e
a partir das funções dadas (aquelas que aparecem explicitamente já em séries de senos!).
- Para
segue imediatamente que (não precisa integrar nada: já está na base .) - Para
segue
Como somente os índices
têm coeficientes não nulos, a soma infinita reduz-se a três termos.
Passo 5
Escrevo os três modos não nulos usando a fórmula do passo anterior:
- Para
: , então Contribuição: - Para
: , então Contribuição: - Para
: , então Contribuição:
Somando os três modos obtemos a solução desejada.