Em cada um dos casos a seguir, determine a solução da equação de Laplace no retângulo R=(0,1) \times(0,2) que satisfaz as condições de Dirichlet indicadas.
\left\{\begin{array}{l}u(x, 0)=\operatorname{sen}(\pi x), \quad u(x, 2)=3 \operatorname{sen}(4 \pi x)-2 \operatorname{sen}(6 \pi x), \quad 0 \leq x \leq 1 ; \u(0, y)=0, \quad u(1, y)=0, \quad 0 \leq y \leq 2 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação de Laplace em R=(0,1)\times(0,2) com condições de Dirichlet:
  • Domínio: 0<x<1,\;0<y<2.
  • Condições em y: u(x,0)=\operatorname{sen}(\pi x), \qquad u(x,2)=3\operatorname{sen}(4\pi x)-2\operatorname{sen}(6\pi x), \qquad 0\le x\le1.
  • Condições nas bordas verticais: u(0,y)=0,\qquad u(1,y)=0,\qquad 0\le y\le2.
O que se pede: encontrar a função u(x,y) que satisfaz
u_{xx}+u_{yy}=0\quad\text{em }R
com as condições de contorno acima.

Passo 2

Método: separação de variáveis (explicado passo a passo).
Procuro soluções do tipo u(x,y)=X(x)Y(y). Substituindo na PDE:
X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0
Dividindo por X(x)Y(y) (assumindo não triviais):
\frac{X''(x)}{X(x)} + \frac{Y''(y)}{Y(y)}=0.
Cada termo depende de uma variável só, logo cada um deve ser igual a uma constante -\lambda:
\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,\qquad \frac{Y''(y)}{Y(y)}=\lambda.
Isso gera os ODEs
X''+\lambda X=0,\qquad Y''-\lambda Y=0.
Agora uso as condições em x: X(0)=0 e X(1)=0. Para existir solução não trivial precisamos de autovalores \lambda>0. Os autovalores e autofunções são (problema clássico de Sturm–Liouville com Dirichlet):
\lambda_n=(n\pi)^2,\qquad X_n(x)=\sin(n\pi x),\qquad n=1,2,\dots
Para cada n, a equação para Y fica
Y''-(n\pi)^2 Y=0,
cuja solução geral é
Y_n(y)=A_n\operatorname{sinh}(n\pi y)+B_n\operatorname{cosh}(n\pi y).

Passo 3

Portanto a solução geral (superposição das modos) é
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}\Big(A_n\operatorname{sinh}(n\pi y)+B_n\operatorname{cosh}(n\pi y)\Big)\sin(n\pi x).
Interpretação das constantes:
  • Os B_n e A_n serão ajustados para satisfazer as condições em y=0 e y=2.
    Aplicando y=0:
u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\sin(n\pi x)=f(x),
onde f(x)=\operatorname{sen}(\pi x). Assim B_n são exatamente os coeficientes da série de Fourier seno de f(x):
B_n=f_n,\quad\text{onde }f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n\sin(n\pi x).
Aplicando y=2:
u(x,2)=\sum_{n=1}^{\infty}\big(A_n\operatorname{sinh}(2n\pi)+B_n\operatorname{cosh}(2n\pi)\big)\sin(n\pi x)=g(x),
onde g(x)=3\operatorname{sen}(4\pi x)-2\operatorname{sen}(6\pi x). Denotando os coeficientes de g por g_n (ou seja, g(x)=\sum g_n\sin(n\pi x)), obtemos para cada n:
A_n\operatorname{sinh}(2n\pi)+B_n\operatorname{cosh}(2n\pi)=g_n.
Como B_n=f_n, isolamos
A_n=\frac{g_n-f_n\operatorname{cosh}(2n\pi)}{\operatorname{sinh}(2n\pi)}.
Uma forma muito prática (e elegante) de escrever a solução modal é usar a identidade de hiperbólicas que leva a
Y_n(y)=\frac{f_n\operatorname{sinh}\!\big(n\pi(2-y)\big)+g_n\operatorname{sinh}\!\big(n\pi y\big)}{\operatorname{sinh}(2n\pi)}.
Isso é obtido substituindo A_n,B_n e reorganizando; essa forma já satisfaz Y_n(0)=f_n e Y_n(2)=g_n. Então
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f_n\operatorname{sinh}\!\big(n\pi(2-y)\big)+g_n\operatorname{sinh}\!\big(n\pi y\big)}{\operatorname{sinh}(2n\pi)}\sin(n\pi x).
Essa expressão é muito útil porque reduz todo o problema a encontrar os coeficientes f_n e g_n.

Passo 4

Agora obtenho os coeficientes f_n e g_n a partir das funções dadas (aquelas que aparecem explicitamente já em séries de senos!).
  • Para f(x)=\operatorname{sen}(\pi x) segue imediatamente que f_1=1,\qquad f_n=0\\ \text{ para }n\ne1.(não precisa integrar nada: já está na base \sin(n\pi x).)
  • Para g(x)=3\operatorname{sen}(4\pi x)-2\operatorname{sen}(6\pi x) segue g_4=3,\qquad g_6=-2,\qquad g_n=0\\ \text{ para }n\notin\{4,6\}.
Como somente os índices n=1,4,6 têm coeficientes não nulos, a soma infinita reduz-se a três termos.

Passo 5

Escrevo os três modos não nulos usando a fórmula do passo anterior:
  • Para n=1: f_1=1,\;g_1=0, então Y_1(y)=\frac{1\cdot\operatorname{sinh}\!\big(\pi(2-y)\big)+0}{\operatorname{sinh}(2\pi)}=\frac{\operatorname{sinh}\!\big(\pi(2-y)\big)}{\operatorname{sinh}(2\pi)}.Contribuição: \displaystyle u_1(x,y)=\frac{\operatorname{sinh}\!\big(\pi(2-y)\big)}{\operatorname{sinh}(2\pi)}\sin(\pi x).
  • Para n=4: f_4=0,\;g_4=3, então Y_4(y)=\frac{0 + 3\operatorname{sinh}\!\big(4\pi y\big)}{\operatorname{sinh}(8\pi)}=\frac{3\operatorname{sinh}\!\big(4\pi y\big)}{\operatorname{sinh}(8\pi)}.Contribuição: \displaystyle u_4(x,y)=\frac{3\operatorname{sinh}\!\big(4\pi y\big)}{\operatorname{sinh}(8\pi)}\sin(4\pi x).
  • Para n=6: f_6=0,\;g_6=-2, então Y_6(y)=\frac{0 -2\operatorname{sinh}\!\big(6\pi y\big)}{\operatorname{sinh}(12\pi)}=-\frac{2\operatorname{sinh}\!\big(6\pi y\big)}{\operatorname{sinh}(12\pi)}.Contribuição: \displaystyle u_6(x,y)=-\frac{2\operatorname{sinh}\!\big(6\pi y\big)}{\operatorname{sinh}(12\pi)}\sin(6\pi x).
Somando os três modos obtemos a solução desejada.

Resposta

u(x,y)=\frac{\operatorname{sinh}\!\big(\pi(2-y)\big)}{\operatorname{sinh}(2\pi)}\sin(\pi x) +\frac{3\operatorname{sinh}\!\big(4\pi y\big)}{\operatorname{sinh}(8\pi)}\sin(4\pi x) -\frac{2\operatorname{sinh}\!\big(6\pi y\big)}{\operatorname{sinh}(12\pi)}\sin(6\pi x).

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