Em cada um dos casos a seguir, determine a solução da equação de Laplace no retângulo R=(0,1) \times(0,2) que satisfaz as condições de Dirichlet indicadas.
\left\{\begin{array}{l}u(x, 0)=3 \operatorname{sen}(4 \pi x)-2 \operatorname{sen}(6 \pi x), \quad u(x, 2)=\operatorname{sen}(\pi x), \quad 0 \leq x \leq 1 ; \u(0, y)=0, \quad u(1, y)=0, \quad 0 \leq y \leq 2 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação de Laplace em R=(0,1)\times(0,2)\) com as condições de Dirichlet: \[\begin{cases} u_{xx}+u_{yy}=0, & (x,y)\in(0,1)\times(0,2),\\[4pt] u(x,0)=3\sin(4\pi x)-2\sin(6\pi x), & 0\le x\le1,\\[4pt] u(x,2)=\sin(\pi x), & 0\le x\le1,\\[4pt] u(0,y)=0,\quad u(1,y)=0, & 0\le y\le2. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • As condições em x=0\] e \(x=1 são homogêneas: u(0,y)=u(1,y)=0.
  • As condições em y=0 e y=2 são funções dadas em x: u(x,0) e u(x,2).
  • As funções de contorno em y estão já expressas em termos de senos com frequências \pi,4\pi,6\pi.
    O que se pede: determinar u(x,y) em todo o retângulo que satisfaz a PDE e essas condições.]

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): por causa das condições homogêneas em x=0 e x=1, é natural procurar soluções por separação de variáveis da forma
u(x,y)=X(x)Y(y),
onde X(0)=X(1)=0. Vou explicar o porquê e como isso nos leva a funções \sin(n\pi x).
Explicando separação de variáveis passo a passo:
  • Substituindo u=X(x)Y(y) em u_{xx}+u_{yy}=0 e separando, obtemos
\frac{X''(x)}{X(x)} + \frac{Y''(y)}{Y(y)}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{X''(x)}{X(x)} = -\frac{Y''(y)}{Y(y)} = -\lambda,
onde \lambda é uma constante de separação (cada lado depende de uma variável distinta, então ambos devem ser iguais a uma constante).
  • Para X temos o problema de autovalores
X''+\lambda X=0,\qquad X(0)=X(1)=0.
As soluções não-triviais ocorrem para \lambda=(n\pi)^2, n=1,2,\dots, com autofunções
X_n(x)=\sin(n\pi x).
  • Para cada \lambda=(n\pi)^2 a equação para Y é
Y''-(n\pi)^2 Y=0,
cuja solução geral é uma combinação linear de e^{n\pi y} e e^{-n\pi y}, ou equivalentemente de \operatorname{sinh}(n\pi y) e \operatorname{cosh}(n\pi y).
Conclusão prática: procuramos u como série de modos em x usando \sin(n\pi x).

Passo 3

Forma geral da solução por soma das modos (explicando cada símbolo):
  • Como as \sin(n\pi x) formam uma base ortogonal para funções que são zero em x=0,1, escrevemos
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty} \big(A_n\operatorname{cosh}(n\pi y)+B_n\operatorname{sinh}(n\pi y)\big)\sin(n\pi x).
Aqui:
  • n é o índice do modo ( n=1,2,\dots);
  • A_n e B_n são constantes a determinar a partir das condições em y=0 e y=2;
  • \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh} aparecem por serem combinações simétricas de e^{\pm n\pi y} e satisfazem a equação Y''-(n\pi)^2Y=0.
Vou agora usar as condições em y=0 e y=2 para achar A_n e B_n.

Passo 4

Aplicando a condição em y=0:
u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty} A_n\operatorname{cosh}(0)\sin(n\pi x)+B_n\operatorname{sinh}(0)\sin(n\pi x)=\sum_{n=1}^{\infty} A_n\sin(n\pi x).
Portanto os coeficientes A_n são exatamente os coeficientes da série senoidal de u(x,0). Como foi dado
u(x,0)=3\sin(4\pi x)-2\sin(6\pi x),
podemos ler diretamente:
A_4=3,\qquad A_6=-2,\qquad A_n=0\\ \text{para } n\neq4,6.
Explicação rápida de por que “podemos ler”: as funções \sin(n\pi x) são ortogonais e a expressão dada já está na forma de série de senos; portanto os coeficientes são os números multiplicadores.

Passo 5

Aplicando a condição em y=2:
u(x,2)=\sum_{n=1}^{\infty}\big(A_n\operatorname{cosh}(2n\pi)+B_n\operatorname{sinh}(2n\pi)\big)\sin(n\pi x).
Isto deve ser igual a u(x,2)=\sin(\pi x). Igualando coeficientes modo a modo (pela ortogonalidade dos senos) obtemos para cada n
A_n\operatorname{cosh}(2n\pi)+B_n\operatorname{sinh}(2n\pi)=G_n,
onde G_n são os coeficientes da expansão de \sin(\pi x). Como \sin(\pi x) é um único modo:
G_1=1,\qquad G_n=0\\ \text{para } n\neq1.
Então, para cada n temos a equação linear para B_n:
B_n=\frac{G_n-A_n\operatorname{cosh}(2n\pi)}{\operatorname{sinh}(2n\pi)}.
Agora vou calcular B_n apenas para os n que aparecem (1,4,6); os demais serão zero.

Passo 6

Cálculo dos coeficientes B_n para os modos não-nulos:
  • Para n=1: A_1=0 e G_1=1. Logo
B_1=\frac{1-0\cdot\operatorname{cosh}(2\pi)}{\operatorname{sinh}(2\pi)}=\frac{1}{\operatorname{sinh}(2\pi)}.
  • Para n=4: A_4=3 e G_4=0. Logo
B_4=\frac{0-3\operatorname{cosh}(8\pi)}{\operatorname{sinh}(8\pi)}=-3\frac{\operatorname{cosh}(8\pi)}{\operatorname{sinh}(8\pi)}=-3\coth(8\pi).
  • Para n=6: A_6=-2 e G_6=0. Logo
B_6=\frac{0-(-2)\operatorname{cosh}(12\pi)}{\operatorname{sinh}(12\pi)}=2\frac{\operatorname{cosh}(12\pi)}{\operatorname{sinh}(12\pi)}=2\coth(12\pi).
  • Para n\neq1,4,6: A_n=0 e G_n=0, então B_n=0.
Comentário didático: \coth é simplesmente \coth(t)=\operatorname{cosh}(t)/\operatorname{sinh}(t). Esses fatores aparecem porque estamos impondo os valores em duas alturas y.

Passo 7

Montando a solução final. Reunindo os termos não-nulos (apenas n=1,4,6), escrevemos u(x,y) como soma de três modos:
u(x,y)=\underbrace{\sin(\pi x)\,\frac{\operatorname{sinh}(\pi y)}{\operatorname{sinh}(2\pi)}}_{\text{modo }n=1} +\underbrace{3\sin(4\pi x)\Big(\operatorname{cosh}(4\pi y)-\coth(8\pi)\operatorname{sinh}(4\pi y)\Big)}_{\text{modo }n=4} +\underbrace{(-2)\sin(6\pi x)\Big(\operatorname{cosh}(6\pi y)-\coth(12\pi)\operatorname{sinh}(6\pi y)\Big)}_{\text{modo }n=6}.
Explicação de equivalência com forma alternativa: a expressão acima vem de combinar A_n\operatorname{cosh}(n\pi y)+B_n\operatorname{sinh}(n\pi y) com os A_n,B_n encontrados. É possível reescrever cada termo na forma
\frac{A_n\operatorname{sinh}\!\big(n\pi(2-y)\big)+G_n\operatorname{sinh}(n\pi y)}{\operatorname{sinh}(2n\pi)}\sin(n\pi x),
o que deixa explícito que o modo interpola entre o valor em y=0 e o valor em y=2. Para os nossos dados isso produz os mesmos três termos não-nulos indicados acima.

Resposta

u(x,y)=\frac{\operatorname{sinh}(\pi y)}{\operatorname{sinh}(2\pi)}\sin(\pi x) +3\Big(\operatorname{cosh}(4\pi y)-\coth(8\pi)\operatorname{sinh}(4\pi y)\Big)\sin(4\pi x) -2\Big(\operatorname{cosh}(6\pi y)-\coth(12\pi)\operatorname{sinh}(6\pi y)\Big)\sin(6\pi x).

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