Em cada um dos casos a seguir, determine a solução da equação de Laplace no retângulo R=(0,1) \times(0,2) que satisfaz as condições de Dirichlet indicadas. \left\{\begin{array}{l}u(x, 0)=3 \operatorname{sen}(4 \pi x)-2 \operatorname{sen}(6 \pi x), \quad u(x, 2)=\operatorname{sen}(\pi x), \quad 0 \leq x \leq 1 ; \u(0, y)=0, \quad u(1, y)=0, \quad 0 \leq y \leq 2 .\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação de Laplace em R=(0,1)\times(0,2)\) com as condições de Dirichlet:
\[\begin{cases} u_{xx}+u_{yy}=0, & (x,y)\in(0,1)\times(0,2),\\[4pt] u(x,0)=3\sin(4\pi x)-2\sin(6\pi x), & 0\le x\le1,\\[4pt] u(x,2)=\sin(\pi x), & 0\le x\le1,\\[4pt] u(0,y)=0,\quad u(1,y)=0, & 0\le y\le2. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
As condições em x=0\] e \(x=1 são homogêneas: u(0,y)=u(1,y)=0.
As condições em y=0 e y=2 são funções dadas em x: u(x,0) e u(x,2).
As funções de contorno em y estão já expressas em termos de senos com frequências \pi,4\pi,6\pi.
O que se pede: determinar u(x,y) em todo o retângulo que satisfaz a PDE e essas condições.]
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): por causa das condições homogêneas em x=0 e x=1, é natural procurar soluções por separação de variáveis da forma
u(x,y)=X(x)Y(y),
onde X(0)=X(1)=0. Vou explicar o porquê e como isso nos leva a funções \sin(n\pi x).
Explicando separação de variáveis passo a passo:
Substituindo u=X(x)Y(y) em u_{xx}+u_{yy}=0 e separando, obtemos
onde \lambda é uma constante de separação (cada lado depende de uma variável distinta, então ambos devem ser iguais a uma constante).
Para X temos o problema de autovalores
X''+\lambda X=0,\qquad X(0)=X(1)=0.
As soluções não-triviais ocorrem para \lambda=(n\pi)^2, n=1,2,\dots, com autofunções
X_n(x)=\sin(n\pi x).
Para cada \lambda=(n\pi)^2 a equação para Y é
Y''-(n\pi)^2 Y=0,
cuja solução geral é uma combinação linear de e^{n\pi y} e e^{-n\pi y}, ou equivalentemente de \operatorname{sinh}(n\pi y) e \operatorname{cosh}(n\pi y).
Conclusão prática: procuramos u como série de modos em x usando \sin(n\pi x).
Passo 3
Forma geral da solução por soma das modos (explicando cada símbolo):
Como as \sin(n\pi x) formam uma base ortogonal para funções que são zero em x=0,1, escrevemos
Explicação rápida de por que “podemos ler”: as funções \sin(n\pi x) são ortogonais e a expressão dada já está na forma de série de senos; portanto os coeficientes são os números multiplicadores.
Comentário didático: \coth é simplesmente \coth(t)=\operatorname{cosh}(t)/\operatorname{sinh}(t). Esses fatores aparecem porque estamos impondo os valores em duas alturas y.
Passo 7
Montando a solução final. Reunindo os termos não-nulos (apenas n=1,4,6), escrevemos u(x,y) como soma de três modos:
Explicação de equivalência com forma alternativa: a expressão acima vem de combinar A_n\operatorname{cosh}(n\pi y)+B_n\operatorname{sinh}(n\pi y) com os A_n,B_n encontrados. É possível reescrever cada termo na forma
o que deixa explícito que o modo interpola entre o valor em y=0 e o valor em y=2. Para os nossos dados isso produz os mesmos três termos não-nulos indicados acima.