Para cada uma das cônicas abaixo, colocar na equação reduzida (padrão) e descrever a cônica
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
f)
.
g)
.
h)
.
i)
.
j)
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Passo 1
O enunciado nos dá dez equações gerais de segundas-grau em
. Para reduzi-las ao “padrão” (forma canônica) e classificar cada cônica (elipse, hipérbole ou parábola) vamos:
. Agrupar termos quadráticos e lineares.
. Se não houver termo
, completar quadrados e reescrever como elipse, parábola ou hipérbole deslocada.
. Se houver termo
, primeiro rotacionar o sistema para eliminar o termo misto (
), diagonalizar o formulário quadrático via autovalores e autovetores, depois, se necessário, completar quadrados em cada eixo principal.
. Identificar o tipo pela comparação
e pelos coeficientes na forma reduzida.
A seguir, em cada passo tratamos uma equação, apresentando diretamente a forma canônica e a classificação.
Passo 2
a)
Agrupando e completando quadrados:
Agrupando e completando quadrados:
É uma elipse centrada em
, semi-eixos
(em
) e
(em
).
Passo 3
b)
Isolando e completando quadrado em
:
Isolando
É uma parábola com vértice em
, eixo paralelo ao eixo
, abrindo para a esquerda.
Passo 4
c)
Matriz quadrática .
Discriminante elipse.
Autovalores: ,
. Em coordenadas principais
:
Matriz quadrática
Discriminante
Autovalores:
É elipse centrada em
, semidistâncias
e
, eixos girados de
tal que
.
Passo 5
d)
,
hipérbole.
Autovalores: ,
. Em eixos principais:
Autovalores:
Hipérbole centrada em
, eixos girados com
.
Passo 6
e)
,
hipérbole.
Autovalores: ,
.
Em eixos principais:
Autovalores:
Em eixos principais:
Hipérbole centrada em
, eixos girados com
.
Passo 7
f)
,
elipse.
Autovalores: ,
.
Em eixos principais:
Autovalores:
Em eixos principais:
Elipse centrada em
, eixos girados com
.
Passo 8
g)
parábola.
Rotacionando tal que
, define
. Em seguida completa quadrados e obtém algo como
Rotacionando
ou deslocada. Concluímos: parábola girada, sem centro (só vértice).
Passo 9
h)
hipérbole.
Rotação com ,
. Em eixos
e completando quadrados em
(há termo linear vindo de
), resulta
Rotação com
Hipérbole girada com vértice deslocado.
Passo 10
i)
elipse.
Rotação com . Em eixos
,
, e depois completa quadrados em
, obtém
Rotação com
Elipse girada
, centro deslocado.
Passo 11
j)
hipérbole.
Rotação com . Em eixos principais e completando quadrados, fica
Rotação com
Hipérbole girada, centro e vértices deslocados.
Resposta
Segue para cada letra a forma canônica e a classificação:
a) , elipse.
b) , parábola.
c) , elipse (eixos girados, centro na origem).
d) , hipérbole.
e) , hipérbole.
f) , elipse.
g) parábola girada (discriminante zero).
h) hipérbole girada em .
i) elipse girada em .
j) hipérbole girada com .
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g) parábola girada (discriminante zero).
h) hipérbole girada em
i) elipse girada em
j) hipérbole girada com