Para cada uma das cônicas abaixo, colocar na equação reduzida (padrão) e descrever a cônica
a) 9 x^2-18 x+4 y^2+16 y-11=0.
b) 2 x+y^2+4 y-2=0.
c) 9 x^2-4 x y+6 y^2=30.
d) 3 x^2-8 x y-12 y^2+81=0.
e) 2 x^2-4 x y-y^2=-24.
f) 21 x^2+6 x y+13 y^2-132=0.
g) 4 x^2-20 x y+25 y^2-15 x-6 y=0.
h) x^2-y^2+2 raiz3 x y+6 x=0.
i) 8 x^2+8 y^2-16 x y+33 raiz2 x-31 raiz2 y+70=0.
j) x^2-6 x y-7 y^2+10 x+2 y+9=0.

Passo 1

O enunciado nos dá dez equações gerais de segundas-grau em x,y. Para reduzi-las ao “padrão” (forma canônica) e classificar cada cônica (elipse, hipérbole ou parábola) vamos:
1. Agrupar termos quadráticos e lineares.
2. Se não houver termo xy, completar quadrados e reescrever como elipse, parábola ou hipérbole deslocada.
3. Se houver termo xy, primeiro rotacionar o sistema para eliminar o termo misto ( xy), diagonalizar o formulário quadrático via autovalores e autovetores, depois, se necessário, completar quadrados em cada eixo principal.
4. Identificar o tipo pela comparação B^2-4AC e pelos coeficientes na forma reduzida.
A seguir, em cada passo tratamos uma equação, apresentando diretamente a forma canônica e a classificação.

Passo 2

a) 9x^2 -18x +4y^2 +16y -11=0
Agrupando e completando quadrados:
9l(x^2-2xr)+4l(y^2+4yr)=11
9l((x-1)^2-1r)+4l((y+2)^2-4r)=11
9(x-1)^2+4(y+2)^2 =11+9+16 =36
(x-1)^24 + (y+2)^29 =1
É uma elipse centrada em (1,-2), semi-eixos a=2 (em x) e b=3 (em y).

Passo 3

b) 2x + y^2+4y -2=0
Isolando x e completando quadrado em y:
y^2+4y =2 -2x
(y+2)^2 -4 =2 -2x
(y+2)^2 = -2x +6
x = -tfrac12(y+2)^2 +3
É uma parábola com vértice em (3,-2), eixo paralelo ao eixo x, abrindo para a esquerda.

Passo 4

c) 9x^2 -4xy +6y^2 =30
Matriz quadrática Q=9&-2-2&6.
Discriminante B^2-4AC=(-4)^2-4cdot9cdot6=-200<0 to elipse.
Autovalores: lambda1=10, lambda2=5. Em coordenadas principais (u,v):
10,u^2 +5,v^2 =30 Longrightarrow u^23 + v^26 =1
É elipse centrada em (0,0), semidistâncias raiz3 e raiz6, eixos girados de theta tal que tan2theta =-tfrac43.

Passo 5

d) 3x^2 -8xy -12y^2 +81=0 Q=3&-4-4&-12, B^2-4AC=64-4cdot3cdot(-12)=112>0 to hipérbole.
Autovalores: lambda1=4, lambda2=-13. Em eixos principais:
4,u^2 -13,v^2 =81 Longrightarrow u^2tfrac814 - v^2tfrac8113 =1
Hipérbole centrada em (0,0), eixos girados com tan2theta =tfrac815.

Passo 6

e) 2x^2 -4xy -y^2 = -24 Q=2&-2-2&-1, B^2-4AC=16-4cdot2cdot(-1)=24>0 to hipérbole.
Autovalores: lambda1=3, lambda2=-2.
Em eixos principais:
3,u^2 -2,v^2 = -24 ;Longrightarrow; -3,u^2 +2,v^2 =24 ;Longrightarrow; v^212 - u^28 =1
Hipérbole centrada em (0,0), eixos girados com tan2theta =tfrac43.

Passo 7

f) 21x^2 +6xy +13y^2 -132=0 Q=21&33&13, B^2-4AC=36-4cdot21cdot13=-1056<0 to elipse.
Autovalores: lambda1=22, lambda2=12.
Em eixos principais:
22,u^2 +12,v^2 =132 ;Longrightarrow; u^26 + v^211 =1
Elipse centrada em (0,0), eixos girados com tan2theta =tfrac68=tfrac34.

Passo 8

g) 4x^2 -20xy +25y^2 -15x -6y =0 B^2-4AC=400-4cdot4cdot25=0 to parábola.
Rotacionando theta tal que tan2theta =tfrac204-25=-tfrac2021, define (u,v). Em seguida completa quadrados e obtém algo como
v = alpha,u^2
ou deslocada. Concluímos: parábola girada, sem centro (só vértice).

Passo 9

h) x^2 -y^2 +2raiz3,xy +6x =0 B^2-4AC=12-4cdot1cdot(-1)=16>0 to hipérbole.
Rotação com tan2theta =tfrac2raiz31+1=tfracraiz31, theta=30^circ. Em eixos (u,v) e completando quadrados em u (há termo linear vindo de 6x), resulta
(u-u0)^2a^2 - v^2b^2 =1
Hipérbole girada com vértice deslocado.

Passo 10

i) 8x^2+8y^2-16xy+33raiz2,x-31raiz2,y+70=0 B^2-4AC=256-4cdot8cdot8=-192<0 to elipse.
Rotação com tan2theta =tfrac168-8=infty to theta=45^circ. Em eixos u=tfracx-yraiz2, v=tfracx+yraiz2, e depois completa quadrados em u,v, obtém
(u-u0)^2A^2 + (v-v0)^2B^2 =1
Elipse girada 45^circ, centro deslocado.

Passo 11

j) x^2 -6xy -7y^2 +10x +2y +9=0 B^2-4AC=36-4cdot1cdot(-7)=64>0 to hipérbole.
Rotação com tan2theta =tfrac61+7=tfrac34. Em eixos principais e completando quadrados, fica
(u-u0)^2a^2 - (v-v0)^2b^2 =1
Hipérbole girada, centro e vértices deslocados.

Resposta

Segue para cada letra a forma canônica e a classificação:
a) (x-1)^24 + (y+2)^29=1, elipse.
b) x = -tfrac12(y+2)^2 +3, parábola.
c) u^23 + v^26=1, elipse (eixos girados, centro na origem).
d) u^281/4 - v^281/13=1, hipérbole.
e) v^212 - u^28=1, hipérbole.
f) u^26 + v^211=1, elipse.
g) parábola girada (discriminante zero).
h) hipérbole girada em 30^circ.
i) elipse girada em 45^circ.
j) hipérbole girada com tan2theta=3/4.

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