Para cada matriz A abaixo com entradas reais encontre uma matriz ortogonal P tal que P^top A P seja diagonal.
a) A=(ll2 & 2 2 & 2)
b) A=(ll2 & 1 1 & 2)

Passo 1

O enunciado pede diagonalizar ortogonalmente duas matrizes simétricas AinR^2times2, ou seja, achar matrizes ortogonais P tais que
P^topAP=diagonal
Para isso vamos, em cada caso, (i) calcular os autovalores de A resolvendo det(A-lambda I)=0, (ii) encontrar autovetores correspondentes e normalizá-los para obter um conjunto ortonormal, e (iii) montar P cujas colunas são esses autovetores normalizados.

Passo 2

a) Seja
A=2&22&2
O polinômio característico é
detl(A-lambda Ir) =det2-lambda&22&2-lambda =(2-lambda)^2-4 =lambda(lambda-4)=0,
logo os autovalores são lambda1=0 e lambda2=4.

Passo 3

a) Para lambda2=4 resolvemos (A-4I)x=0, que dá x1=x2. Um autovetor é v2=(1,1), e normalizando temos
p2=1raiz211
Para lambda1=0 resolvemos Ax=0, que dá x1=-x2. Um autovetor é v1=(1,-1), e normalizando
p1=1raiz21-1
Tomando como colunas de P o par (p2,p1) alinhado com (lambda2,lambda1), obtemos
P =1raiz2 1 & 1 1 & -1 ,
e de fato
P^topAP =4&00&0

Passo 4

b) Seja
A=2&11&2
O polinômio característico é
detl(A-lambda Ir) =det2-lambda&11&2-lambda =(2-lambda)^2-1 =lambda^2-4lambda+3 =(lambda-1)(lambda-3)=0,
logo os autovalores são lambda1=1 e lambda2=3.

Passo 5

b) Para lambda2=3 obtemos o autovetor v2=(1,1) e normalizamos
p2=1raiz211
Para lambda1=1 obtemos v1=(1,-1) e normalizamos
p1=1raiz21-1
Usando as colunas (p2,p1), a mesma matriz
P =1raiz2 1 & 1 1 & -1
satisfaz
P^topAP =3&00&1

Resposta

a)
P =1raiz2 1 & 1 1 & -1 , P^topAP =4&00&0
b)
P =1raiz2 1 & 1 1 & -1 , P^topAP =3&00&1

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