Mostre que os seguintes subconjuntos de R^3 são subespaços
W=(x, 2 x, 3 x) mid x in R

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
W = (x,2x,3x)mid xin R
é um subespaço de R^3.
Para isso, vamos usar a definição de subespaço: devemos verificar que
  1. o vetor zero está em W,
  2. W é fechado sob adição de vetores,
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero de R^3 pertence a W.
Basta escolher x=0. Então
(0,2cdot 0,3cdot 0) = (0,0,0),
logo (0,0,0)in W.

Passo 3

Mostramos que W é fechado sob adição.
Sejam (x,2x,3x) e (y,2y,3y) vetores em W. Sua soma é
(x,2x,3x)+(y,2y,3y) =(x+y,,2x+2y,,3x+3y) =(x+y,,2(x+y),,3(x+y))
Como x+yinR, o resultado está na forma (z,2z,3z) com z=x+y, logo pertence a W.

Passo 4

Mostramos que W é fechado sob multiplicação por escalar.
Seja alphainR e (x,2x,3x)in W. Então
alpha,(x,2x,3x) =(alpha x,,2alpha x,,3alpha x) =(z,,2z,,3z)
onde z=alpha xinR. Logo alpha,(x,2x,3x)in W.

Resposta

Como W contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que W é de fato um subespaço de R^3.

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