Sejam B, M in R^2 times 2 com M invertível.
a) Mostre que (M^-1 B M)^k=(M^-1 B^k M), para todo k in N.
b) Calcule A^k, k in N, onde
A=(cc -2 & 1 5 & 2 )

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro, provar que se B,MinR^2times 2 com M invertível, então para todo kinN vale
l(M^-1BMr)^k ,=, M^-1B^kM
Isso é teoria de transformações de semelhança e potências de matrizes. Em seguida, calcular explicitamente A^k para
A = -2 & 1 [6pt] 5 & 2,
também para todo kinN.]

Passo 2

Prova por indução em k de que l(M^-1BMr)^k = M^-1B^kM.
Base k=1:
l(M^-1BMr)^1 = M^-1BM = M^-1B^1M
Indutivo: suponha verdade para k. Então
l(M^-1BMr)^k+1 = l(M^-1BMr)^k ,l(M^-1BMr) ;=;l(M^-1B^kMr)l(M^-1BMr) ;=;M^-1B^kl(MM^-1r)BM ;=;M^-1B^k+1M
Isso fecha a indução.

Passo 3

Agora parte (b). Vamos achar uma relação simples para A. Calculemos A^2.
A^2 = -2 & 1 [4pt] 5 & 2 -2 & 1 [4pt] 5 & 2 = (-2)(-2)+1cdot5 & (-2)cdot1+1cdot2 [4pt] 5cdot(-2)+2cdot5 & 5cdot1+2cdot2 = 9 & 0 [4pt] 0 & 9 = 9I
Portanto ,A^2 = 9I.]

Passo 4

A partir de A^2=9I obtemos para todo k a fórmula em dois casos:
1. Se k é par, digamos k=2n, então
A^2n = l(A^2r)^n = (9I)^n = 9^nI
2. Se k é ímpar, digamos k=2n+1, então
A^2n+1 = A,(A^2)^n = A,(9I)^n = 9^n,A

Resposta

Para todo kin N:
(a) (M^-1BM)^k = M^-1B^kM.
(b) Se k=2n então A^k=9^nI, e se k=2n+1 então A^k=9^nA.

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