Sejam
com
invertível.
a) Mostre que
, para todo
.
b) Calcule
, onde
a) Mostre que
b) Calcule
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Primeiro, provar que se
B,MinR^2times 2 com
M invertível, então para todo
kinN vale
Isso é teoria de transformações de semelhança e potências de matrizes. Em seguida, calcular explicitamente
A^k para
também para todo
kinN .]
Passo 2
Prova por indução em
k de que
l(M^-1BMr)^k = M^-1B^kM .
Basek=1 :
Base
Indutivo: suponha verdade para
k . Então
Isso fecha a indução.
Passo 3
Agora parte (b). Vamos achar uma relação simples para
A . Calculemos
A^2 .
Portanto
,A^2 = 9I .]
Passo 4
A partir de
A^2=9I obtemos para todo
k a fórmula em dois casos:
Resposta
Para todo
kin N :
(a) (M^-1BM)^k = M^-1B^kM .
(b) Sek=2n então
A^k=9^nI , e se
k=2n+1 então
A^k=9^nA .
(a)
(b) Se