Mostre que os seguintes subconjuntos de R^2 não são subespaços. Mostre, através de exemplos, que pelo menos um dos axiomas da definição de subespaço vetorial falha para estes subconjuntos.
W=(x, y) in R^2 mid-1 <= x <= 1 e-1 <= y <= 1 (quadrado de lado 2).

Passo 1

O enunciado define
W=(x,y)inR^2mid -1<= x<= 1 e -1<= y<=1.
Queremos mostrar que W não é um subespaço vetorial de R^2. Para isso basta encontrar um dos axiomas de subespaço que falhe, tipicamente a clausura em adição ou em multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos a clausura em adição. Tomemos
u=(1,1)in W e v=(1,1)in W,
pois 1 satisfaz -1<=1<=1 em cada coordenada. Mas
u+v = (1,1)+(1,1) = (2,2),
e em (2,2) temos 2not<=1. Logo (2,2)notin W, isto é, u+vnotin W. Falha a clausura sob soma.

Passo 3

Opcionalmente, checamos a clausura em multiplicação por escalar. Tomemos o vetor
w=(1,0)in W
e o escalar alpha=2. Então
alpha,w = 2,(1,0) = (2,0),
e como 2not<=1, (2,0)notin W. Falha também a clausura sob multiplicação por escalar.

Resposta

W não é subespaço vetorial de R^2, pois não é fechado nem em adição nem em multiplicação por escalar.

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