Mostre que os seguintes subconjuntos de
não são subespaços. Mostre, através de exemplos, que pelo menos um dos axiomas da definição de subespaço vetorial falha para estes subconjuntos.
(quadrado de lado 2).
Passo 1
O enunciado define
.
Queremos mostrar que não é um subespaço vetorial de
. Para isso basta encontrar um dos axiomas de subespaço que falhe, tipicamente a clausura em adição ou em multiplicação por escalar.
Queremos mostrar que
Passo 2
Verificamos a clausura em adição. Tomemos
pois
satisfaz
em cada coordenada. Mas
e em
temos
. Logo
, isto é,
. Falha a clausura sob soma.
Passo 3
Opcionalmente, checamos a clausura em multiplicação por escalar. Tomemos o vetor
e o escalar
. Então
e como
,
. Falha também a clausura sob multiplicação por escalar.