Considere
Determine uma base e a dimensão de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar uma base e a dimensão do conjunto
. Isso está no campo da Álgebra Linear, especificamente lidando com subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como base, combinação linear e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que gera todo o espaço (ou seja, qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores) e que é linearmente independente (nenhum vetor da base pode ser escrito como combinação dos outros).
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto
. Cada vetor em
tem a forma
, onde
e
são números reais. Podemos notar que esse vetor pode ser escrito como uma combinação linear de dois vetores:
Passo 4
Então, os vetores
e
geram o conjunto
, já que qualquer vetor de
pode ser obtido combinando-os com coeficientes
e
.
Passo 5
Agora, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Para isso, consideramos se a única solução para a equação
é
e
.
Isso implica que
e
. Logo, os vetores são linearmente independentes.
Passo 6
Como temos dois vetores que geram
e são linearmente independentes, eles formam uma base para
.
Passo 7
A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores na sua base. Como nossa base tem dois vetores, a dimensão de
é 2.
Resposta
Uma base para
é
e a dimensão de
é igual a 2.