Considere
U=(x, x, y, y) in R^4: x, y in R
Determine uma base e a dimensão de U

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar uma base e a dimensão do conjunto U = (x, x, y, y) in R^4: x, y in R . Isso está no campo da Álgebra Linear, especificamente lidando com subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como base, combinação linear e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que gera todo o espaço (ou seja, qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores) e que é linearmente independente (nenhum vetor da base pode ser escrito como combinação dos outros).

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto U . Cada vetor em U tem a forma (x, x, y, y) , onde x e y são números reais. Podemos notar que esse vetor pode ser escrito como uma combinação linear de dois vetores:
(x, x, y, y) = x cdot (1, 1, 0, 0) + y cdot (0, 0, 1, 1)

Passo 4

Então, os vetores (1, 1, 0, 0) e (0, 0, 1, 1) geram o conjunto U , já que qualquer vetor de U pode ser obtido combinando-os com coeficientes x e y .

Passo 5

Agora, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Para isso, consideramos se a única solução para a equação a(1, 1, 0, 0) + b(0, 0, 1, 1) = (0, 0, 0, 0) é a = 0 e b = 0 .
a(1, 1, 0, 0) + b(0, 0, 1, 1) = (a, a, b, b) = (0, 0, 0, 0)
Isso implica que a = 0 e b = 0 . Logo, os vetores são linearmente independentes.

Passo 6

Como temos dois vetores que geram U e são linearmente independentes, eles formam uma base para U .

Passo 7

A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores na sua base. Como nossa base tem dois vetores, a dimensão de U é 2.

Resposta

Uma base para U é , (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1) , e a dimensão de U é igual a 2.

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