Considere
Determine uma base de
que contenha a base de
dada acima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um conjunto
dentro do espaço
. O enunciado quer que a gente encontre uma base para todo o espaço
que inclua a base de
que já foi dada. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais, subespaços e bases. Basicamente, uma base é um conjunto de vetores que são suficientes para gerar todo o espaço por combinações lineares. Vamos começar encontrando a base de
e depois expandir isso para uma base de
.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir qual é a base de
. O conjunto
é definido por todos os vetores da forma
, onde
e
são números reais. Isso significa que qualquer vetor em
pode ser escrito como
. Então, os vetores
e
geram
. Como eles são linearmente independentes (nenhum é múltiplo do outro), esses dois vetores formam uma base para
.
Passo 3
Agora que temos a base de
, que são
, precisamos encontrar mais dois vetores para completar a base de
. Esses vetores adicionais devem ser tais que, juntos com os vetores de
, formem um conjunto de quatro vetores que sejam todos linearmente independentes. Vamos escolher, por exemplo,
e
. Esses vetores não podem ser escritos como combinações lineares dos vetores de
, então eles garantem que nossa base para
seja completa e independente.
Resposta
Uma base de
que contém a base de
é: