Considere
U=(x, x, y, y) in R^4: x, y in R
Determine uma base de R^4 que contenha a base de U dada acima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um conjunto U dentro do espaço R^4 . O enunciado quer que a gente encontre uma base para todo o espaço R^4 que inclua a base de U que já foi dada. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais, subespaços e bases. Basicamente, uma base é um conjunto de vetores que são suficientes para gerar todo o espaço por combinações lineares. Vamos começar encontrando a base de U e depois expandir isso para uma base de R^4 .

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir qual é a base de U . O conjunto U é definido por todos os vetores da forma (x, x, y, y) , onde x e y são números reais. Isso significa que qualquer vetor em U pode ser escrito como x(1, 1, 0, 0) + y(0, 0, 1, 1) . Então, os vetores (1, 1, 0, 0) e (0, 0, 1, 1) geram U . Como eles são linearmente independentes (nenhum é múltiplo do outro), esses dois vetores formam uma base para U .

Passo 3

Agora que temos a base de U , que são (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1) , precisamos encontrar mais dois vetores para completar a base de R^4 . Esses vetores adicionais devem ser tais que, juntos com os vetores de U , formem um conjunto de quatro vetores que sejam todos linearmente independentes. Vamos escolher, por exemplo, (1, -1, 0, 0) e (0, 0, 1, -1) . Esses vetores não podem ser escritos como combinações lineares dos vetores de U , então eles garantem que nossa base para R^4 seja completa e independente.

Resposta

Uma base de R^4 que contém a base de U é:
, (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1,), (1, -1, 0, 0), (0, 0, 1, -1,) ,

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