Para cada conjunto abaixo, verifique se é linearmente independente.
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Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de polinômios
é linearmente independente. Vamos usar a definição: um conjunto é LI se a única solução da combinação linear nula é a trivial.
Passo 2
Considere a combinação linear nula
onde é o polinômio identicamente zero.
Passo 3
Expanda e agrupe termos semelhantes em potência de . No lado esquerdo temos
Passo 4
Para que esse polinômio seja identicamente zero, cada coeficiente deve anular-se. Logo obtemos o sistema
Passo 5
Resolva em função de c:
Da primeira equação d=-c.
Da segunda b=-2c.
Substituindo b na terceira:
a -(-2c)+c=0;Rightarrow;a+3c=0;Rightarrow;a=-3c
Portanto (a,b,c,d)=c,(-3,-2,1,-1). Para cneq0 temos solução não trivial.
Passo 6
Como existe solução não trivial para a combinação linear nula, o conjunto é linearmente dependente.