Para cada conjunto abaixo, verifique se é linearmente independente.
.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de polinômios
1,;x-1,;x^2+2x+1,;x^2subsetP4(R)
é linearmente independente. Vamos usar a definição: um conjunto é LI se a única solução da combinação linear nula é a trivial.

Passo 2

Considere a combinação linear nula
acdot1 ;+; b,(x-1);+; c,(x^2+2x+1);+; d,(x^2) ;=;0
onde 0 é o polinômio identicamente zero.

Passo 3

Expanda e agrupe termos semelhantes em potência de x. No lado esquerdo temos
(a);+;(b,x - b);+;(c,x^2+2c,x+c);+;(d,x^2) ;=; (c+d),x^2 ;+;(b+2c),x ;+;(a - b +c)

Passo 4

Para que esse polinômio seja identicamente zero, cada coeficiente deve anular-se. Logo obtemos o sistema
c + d = 0, b + 2c = 0, a - b + c = 0

Passo 5

Resolva em função de c:
Da primeira equação d=-c.
Da segunda b=-2c.
Substituindo b na terceira:
a -(-2c)+c=0;Rightarrow;a+3c=0;Rightarrow;a=-3c
Portanto (a,b,c,d)=c,(-3,-2,1,-1). Para cneq0 temos solução não trivial.

Passo 6

Como existe solução não trivial para a combinação linear nula, o conjunto é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente.

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