Seja V o espaço vetorial real de todas as funções com valores reais definidas na reta real. Demonstre que cada um dos seguintes subconjuntos de V é LI :
1, e^a x, e^b x, a neq b.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto 1,,e^a x,,e^b x é linearmente independente em V, o espaço de todas as funções Rto R, sabendo que aneq b. Vamos usar a definição: se
alphacdot1 + beta,e^a x + gamma,e^b x = 0
para todo x, então devemos concluir que alpha=beta=gamma=0.

Passo 2

Suponha que existam escalares alpha,beta,gammain R tais que, para todo x,
alpha + beta,e^a x + gamma,e^b x = 0
Essa é a condição de combinação linear que supostamente anula a função.

Passo 3

Avalie a expressão acima em x=0. Como e^acdot0=e^bcdot0=1, obtemos
alpha + beta + gamma = 0

Passo 4

Como a soma de funções é zero para todo x, sua derivada também é zero. Derivando e avaliando em x=0
ddxl(beta,e^a x+gamma,e^b xr)|x=0 =beta,a + gamma,b = 0

Passo 5

Derivando uma segunda vez e avaliando em x=0 temos
d^2dx^2l(beta,e^a x+gamma,e^b xr)|x=0 =beta,a^2 + gamma,b^2 = 0

Passo 6

Agora resolvemos o sistema
beta,a + gamma,b = 0, beta,a^2 + gamma,b^2 = 0
Multiplique a primeira equação por a: beta,a^2 + gamma,a b=0. Subtraindo da segunda obtemos
gammal(b^2 - a br)=gamma,b,(b-a)=0
Como bneq a e bneq0 (ou mesmo se b=0, ainda vale b-aneq0), segue gamma=0. Daí beta,a=0 implica beta=0, e então da alpha+beta+gamma=0 vem alpha=0.

Resposta

A única combinação linear que anula identicamente é a trivial alpha=beta=gamma=0. Portanto, 1,,e^a x,,e^b x é linearmente independente.

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