Seja o espaço vetorial real de todas as funções com valores reais definidas na reta real. Demonstre que cada um dos seguintes subconjuntos de é LI : .
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto é linearmente independente em , o espaço de todas as funções , sabendo que . Vamos usar a definição: se
para todo , então devemos concluir que .
Passo 2
Suponha que existam escalares tais que, para todo ,
Essa é a condição de combinação linear que supostamente anula a função.
Passo 3
Avalie a expressão acima em . Como , obtemos
Passo 4
Como a soma de funções é zero para todo , sua derivada também é zero. Derivando e avaliando em dá
Passo 5
Derivando uma segunda vez e avaliando em x=0 temos