(1,0) Questão 5. Determine o vértice, o foco e a diretriz da parábola y=x^2-6 x+5. Faça um esboço.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar o vértice, o foco e a diretriz da parábola dada pela equação y = x^2 - 6x + 5 . Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica relacionados às parábolas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vértice da parábola. Para isso, precisamos reescrever a equação na forma de completar o quadrado. A forma geral de uma parábola vertical é y = a(x - h)^2 + k , onde (h, k) é o vértice.
Começamos com a equação original:
y = x^2 - 6x + 5
Vamos completar o quadrado para os termos de x :
  1. Pegue o coeficiente de x , que é -6, divida por 2 e eleve ao quadrado:
( -62 )^2 = (-3)^2 = 9
  1. Adicione e subtraia esse valor dentro da equação:
y = x^2 - 6x + 9 - 9 + 5
  1. Reescreva os termos quadráticos como um quadrado perfeito:
y = (x - 3)^2 - 4
Agora, a equação está na forma y = (x - 3)^2 - 4 , o que nos mostra que o vértice (h, k) é:
V(h, k) = (3, -4)

Passo 3

Agora, vamos encontrar o foco da parábola. Sabemos que a distância do vértice ao foco é dada por 14a , onde a é o coeficiente que está na frente do termo quadrático na forma canônica da parábola.
Na nossa equação transformada:
y = (x - 3)^2 - 4
O coeficiente a = 1 .
Então, a distância p do vértice ao foco é:
p = 14 times 1 = 14
Como a parábola abre para cima (porque a > 0 ), o foco estará p unidades acima do vértice.
Portanto, as coordenadas do foco F são:
F(h, k + p) = (3, -4 + 14) = (3, -154)

Passo 4

Por último, vamos determinar a diretriz da parábola. A diretriz é uma reta paralela ao eixo da parábola que está localizada p unidades do vértice, mas do lado oposto ao foco.
Já que p = 14 e o foco está acima do vértice, a diretriz estará abaixo do vértice.
A equação da diretriz é então:
y = k - p = -4 - 14 = -174

Resposta

  • Vértice: V(3, -4)
  • Foco: F(3, -154)
  • Diretriz: y = -174

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