Questão 5. Determine o vértice, o foco e a diretriz da parábola
. Faça um esboço.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar o vértice, o foco e a diretriz da parábola dada pela equação
. Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica relacionados às parábolas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vértice da parábola. Para isso, precisamos reescrever a equação na forma de completar o quadrado. A forma geral de uma parábola vertical é
, onde
é o vértice.
Começamos com a equação original:
Vamos completar o quadrado para os termos de
:
- Pegue o coeficiente de
, que é -6, divida por 2 e eleve ao quadrado:
- Adicione e subtraia esse valor dentro da equação:
- Reescreva os termos quadráticos como um quadrado perfeito:
Agora, a equação está na forma
, o que nos mostra que o vértice
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o foco da parábola. Sabemos que a distância do vértice ao foco é dada por
, onde
é o coeficiente que está na frente do termo quadrático na forma canônica da parábola.
Na nossa equação transformada:
O coeficiente
.
Então, a distância
do vértice ao foco é:
Como a parábola abre para cima (porque
), o foco estará
unidades acima do vértice.
Portanto, as coordenadas do foco
são:
Passo 4
Por último, vamos determinar a diretriz da parábola. A diretriz é uma reta paralela ao eixo da parábola que está localizada
unidades do vértice, mas do lado oposto ao foco.
Já que
e o foco está acima do vértice, a diretriz estará abaixo do vértice.
A equação da diretriz é então:
Resposta
- Vértice:
- Foco:
- Diretriz: