(2,0) Questão 6. Determine o centro, os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole
4 x^2-y^2+8 x+4 y-4=0
Faça um esboço.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o centro, os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole
4x^2-y^2+8x+4y-4=0
e fazer um esboço. Para isso vamos completar quadrados e passar para a forma canônica de uma hipérbole.

Passo 2

Agrupando termos e completando quadrados em x e y:
4x^2+8x ;-;y^2+4y ;-;4 = 0
4l(x^2+2xr);-;l(y^2-4yr);-;4=0
4l[(x+1)^2-1r];-;l[(y-2)^2-4r];-;4=0
4(x+1)^2-4 ;-;(y-2)^2+4 ;-;4=0 ;;Longrightarrow;; 4(x+1)^2-(y-2)^2=4
Dividindo por 4:
(x+1)^21-(y-2)^24=1

Passo 3

Na forma
(x-h)^2a^2-(y-k)^2b^2=1
vemos que
;h=-1,;k=2,;a^2=1,;b^2=4.
Logo o centro é (h,k)=(-1,2), a=1 e b=2.

Passo 4

Os vértices são (hpm a,k), ou seja
(-1pm1,,2);Longrightarrow;(0,2);e;(-2,2)
Para os focos usamos c^2=a^2+b^2=1+4=5, c=raiz5.
Os focos são
(-1pmraiz5,,2)

Passo 5

As assíntotas de uma hipérbole horizontal são
y-k = pmba(x-h)
Substituindo h,k,a,b:
y-2 = pm2,(x+1)
Logo as retas são
y=2+2(x+1)=2x+4 e y-2=-2(x+1);Longrightarrow;y=-2x

Passo 6

Esboço:
  • Centro em (-1,2).
  • Vértices em (0,2) e (-2,2), hipérbole abrindo para a direita e para a esquerda.
  • Assíntotas são as retas y=2x+4 e y=-2x, que se cruzam no centro.
    No desenho, marque o centro, trace as assíntotas como guias e desenhe os ramos passando pelos vértices.

Resposta

Centro: (-1,2)
Vértices: (0,2) e (-2,2)
Focos: l(-1+raiz5,2r) e l(-1-raiz5,2r)
Assíntotas: y=2x+4 e y=-2x

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