Considere o subespaço vetorial W formado pelas matrizes triangulares superiores 4 times 4. Obter um conjunto gerador para W.

Passo 1

O enunciado pede um conjunto gerador para o subespaço Wsubset K^4times4 formado pelas matrizes triangulares superiores, ou seja,
W=lA=(aij)in K^4times4mid aij=0sempre que i>jr
O conteúdo aqui é encontrar um sistema de geradores (de preferência uma base) para esse espaço.

Passo 2

Lembrando que as matrizes canônicas
Eijcom (Eij)kl=1,&(k,l)=(i,j),0,&caso contrário á
formam uma base de K^4times4, qualquer subespaço definido por uma restrição de entradas (como aij=0 para i>j) será gerado pelos Eij que satisfazem essa condição. No nosso caso, devemos tomar todos os Eij com i<= j.

Passo 3

Logo, um conjunto gerador para W é
,Eijmid 1<= i<= j<=4
Escrevendo a lista completa, temos os 10 elementos
E11,,E12,,E13,,E14,; E22,,E23,,E24,; E33,,E34,; E44

Resposta

E11,E12,E13,E14,E22,E23,E24,E33,E34,E44 é um conjunto gerador de W.

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