Para cada conjunto considerado prove que o conjunto de pontos de acumulação é como indicado.
Se A=] 0,1] \cup\{2\} então A^{\prime}=[0,1].

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
A = \,]0,1] \,\cup \{2\}
e pede para mostrar que o conjunto de pontos de acumulação A' de A é exatamente
[0,1].
Lembrando que x é ponto de acumulação de A se toda vizinhança de x contém algum ponto de A diferente de x.

Passo 2

Tomemos primeiro x\in(0,1]. Seja \varepsilon>0. O intervalo (x-\varepsilon,x+\varepsilon) intersecta sempre \,]0,1] em algum ponto distinto de x, pois (0,1] é denso em si mesmo. Logo, para todo \varepsilon>0 existe y\in A, y\neq x, com
y\in(x-\varepsilon,x+\varepsilon).
Isso mostra que todo x\in(0,1] é ponto de acumulação de A.

Passo 3

Agora x=0. Seja \varepsilon>0. Então
(0-\varepsilon,0+\varepsilon) = (-\varepsilon,\varepsilon)
contém pontos de (0,1], por exemplo qualquer y\in(0,\min\{\varepsilon,1\}]. Esse y pertence a A e é diferente de 0. Portanto 0 é ponto de acumulação de A.
Dessa forma [0,1]\subseteq A'.

Passo 4

Para ver que nenhum outro ponto está em A', note que se x<0 ou x>1 e x\neq2, basta escolher \varepsilon pequeno demais para que (x-\varepsilon,x+\varepsilon) fique totalmente fora de ]0,1] e de \{2\}, logo não intercepta A.
No caso x=2, tome \varepsilon<1. Então (2-\varepsilon,2+\varepsilon) contém apenas o ponto 2 de A, mas não há outro ponto de A distinto de 2. Assim 2 não é ponto de acumulação.
Isso mostra A'\subseteq[0,1].

Resposta

A'=[0,1]

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