Para cada conjunto considerado prove que o conjunto de pontos de acumulação é como indicado.
Se
então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede para mostrar que o conjunto de pontos de acumulação
de
é exatamente
Lembrando que
é ponto de acumulação de
se toda vizinhança de
contém algum ponto de
diferente de
.
Passo 2
Tomemos primeiro
. Seja
. O intervalo
intersecta sempre
em algum ponto distinto de
, pois
é denso em si mesmo. Logo, para todo
existe
,
, com
Isso mostra que todo
é ponto de acumulação de
.
Passo 3
Agora
. Seja
. Então
contém pontos de
, por exemplo qualquer
. Esse
pertence a
e é diferente de
. Portanto
é ponto de acumulação de
.
Dessa forma
.
Passo 4
Para ver que nenhum outro ponto está em
, note que se
ou
e
, basta escolher
pequeno demais para que
fique totalmente fora de
e de
, logo não intercepta
.
No caso , tome
. Então
contém apenas o ponto
de
, mas não há outro ponto de
distinto de
. Assim
não é ponto de acumulação.
No caso
Isso mostra
.