Para cada conjunto considerado prove que o conjunto de pontos de acumulação é como indicado.
Se
então
.
Se
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede para provar que o conjunto de pontos de acumulação de
, denotado por
, é exatamente o intervalo
. O conteúdo aqui envolve pontos de acumulação em
, densidade de
em
e comportamento assintótico de funções contínuas.
Passo 2
Definimos a função
Note que
. Como
é quociente de funções contínuas não nulas no domínio,
é contínua em
. Além disso, a derivada
é positiva em todo
, logo
é estritamente crescente.
Passo 3
Como
é crescente, seus limites nas extremidades do domínio dão os extremos da imagem:
Portanto a imagem de
é o intervalo aberto
.
Passo 4
Como
é denso em
e
é contínua e estritamente crescente, a imagem
é densa em
. Assim todo ponto de
é limite de uma sequência em
, ou seja,
Passo 5
Faltam agora os extremos
e
. Para
, considere qualquer sequência de racionais
; então
portanto
. Para
, tome qualquer sequência de racionais
; então
logo
.
Passo 6
Reunindo tudo,
contém
e também os pontos
e
. Não há outros pontos na fechadura de
, então