Para cada conjunto considerado prove que o conjunto de pontos de acumulação é como indicado.
Se A=\left\{\frac{x \sqrt{2}}{x+1}: x \in \mathbb{Q}^{+}\right\}então A^{\prime}=[0, \sqrt{2}].

Passo 1

O enunciado define o conjunto
A = \biggl\{\frac{x\sqrt{2}}{x+1} : x\in\mathbb{Q}^+\biggr\}
e pede para provar que o conjunto de pontos de acumulação de A, denotado por A', é exatamente o intervalo [0,\sqrt{2}]. O conteúdo aqui envolve pontos de acumulação em \mathbb{R}, densidade de \mathbb{Q}^+ em \mathbb{R}^+ e comportamento assintótico de funções contínuas.

Passo 2

Definimos a função
f\colon (0,\infty)\to\mathbb{R},\qquad f(t)=\frac{t\sqrt{2}}{t+1}.
Note que A = f(\mathbb{Q}^+). Como f é quociente de funções contínuas não nulas no domínio, f é contínua em (0,\infty). Além disso, a derivada
f'(t) =\frac{\sqrt{2}(t+1)-t\sqrt{2}}{(t+1)^2} =\frac{\sqrt{2}}{(t+1)^2}
é positiva em todo t>0, logo f é estritamente crescente.

Passo 3

Como f é crescente, seus limites nas extremidades do domínio dão os extremos da imagem:
\lim_{t\to0^+}f(t) =\lim_{t\to0^+}\frac{t\sqrt{2}}{t+1} =0,
\lim_{t\to\infty}f(t) =\lim_{t\to\infty}\frac{t\sqrt{2}}{t+1} =\sqrt{2}.
Portanto a imagem de f é o intervalo aberto (0,\sqrt{2}).

Passo 4

Como \mathbb{Q}^+ é denso em (0,\infty) e f é contínua e estritamente crescente, a imagem f(\mathbb{Q}^+) é densa em f((0,\infty))=(0,\sqrt{2}). Assim todo ponto de (0,\sqrt{2}) é limite de uma sequência em A, ou seja,
(0,\sqrt{2})\subset A'.

Passo 5

Faltam agora os extremos 0 e \sqrt{2}. Para 0, considere qualquer sequência de racionais x_n\to0^+; então
\frac{x_n\sqrt{2}}{x_n+1}\longrightarrow0,
portanto 0\in A'. Para \sqrt{2}, tome qualquer sequência de racionais y_n\to+\infty; então
\frac{y_n\sqrt{2}}{y_n+1}\longrightarrow\sqrt{2},
logo \sqrt{2}\in A'.

Passo 6

Reunindo tudo, A' contém (0,\sqrt{2}) e também os pontos 0 e \sqrt{2}. Não há outros pontos na fechadura de (0,\sqrt{2}), então
A' = [0,\sqrt{2}].

Resposta

A'=[0,\sqrt{2}].

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