Identifique o domínio e imagem das seguintes funções. Prove que que os conjuntos identificados são de fato o domínio e imagem dessas funções.
f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}.

Passo 1

O enunciado pede o domínio e a imagem da função
f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}.
O que precisamos usar é a definição de domínio (valores de x que não fazem o denominador zero) e, para a imagem, estudaremos a variação de
y=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}
quando x percorre todo o domínio.

Passo 2

Para achar o domínio, observamos o denominador
x^{2}+1.
Como x^{2}\ge0 para todo x\in\mathbb{R}, segue que x^{2}+1\ge1>0. Logo, o denominador nunca se anula e não há restrição em x. Portanto, o domínio é \mathbb{R}.

Passo 3

Para determinar a imagem, note que x^{2} assume todos os valores t\in[0,\infty). Definimos
g(t)=\frac{t-1}{t+1},\quad t\ge0.
Calculamos a derivada de g para ver se há monotonicidade:
g'(t) =\frac{(1)(t+1)-(t-1)(1)}{(t+1)^{2}} =\frac{2}{(t+1)^{2}}>0.
Isso mostra que g é estritamente crescente em [0,\infty). Agora avaliamos os extremos:
g(0)=\frac{0-1}{0+1}=-1,
\lim_{t\to\infty}g(t) =\lim_{t\to\infty}\frac{t-1}{t+1}=1.
Como g é crescente, sua imagem é o intervalo dos valores de -1 até 1, atingindo -1 em t=0 e aproximando-se de 1 mas nunca o igualando. Portanto
\mathrm{Im}(f)=[-1,1).

Passo 4

Para provar que todo y\in[-1,1) é realmente atingido por f, basta resolver
\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}=y \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\, (1 - y)=1+y \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=\frac{1+y}{1-y}.
Se -1\le y<1, então 1-y>0 e 1+y\ge0, logo \frac{1+y}{1-y}\ge0, garantindo solução real para x. Por outro lado, se y< -1 ou y\ge1, não se obtém x^2\ge0 consistente ou 1-y=0, então tais valores não aparecem na imagem.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [-1,1)

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