Identifique o domínio e imagem das seguintes funções. Prove que que os conjuntos identificados são de fato o domínio e imagem dessas funções.
.
Passo 1
O enunciado pede o domínio e a imagem da função
O que precisamos usar é a definição de domínio (valores de
que não fazem o denominador zero) e, para a imagem, estudaremos a variação de
quando
percorre todo o domínio.
Passo 2
Para achar o domínio, observamos o denominador
Como
para todo
, segue que
. Logo, o denominador nunca se anula e não há restrição em
. Portanto, o domínio é
Passo 3
Para determinar a imagem, note que
assume todos os valores
. Definimos
Calculamos a derivada de
para ver se há monotonicidade:
Isso mostra que
é estritamente crescente em
. Agora avaliamos os extremos:
Como
é crescente, sua imagem é o intervalo dos valores de
até
, atingindo
em
e aproximando-se de
mas nunca o igualando. Portanto
Passo 4
Para provar que todo
é realmente atingido por
, basta resolver
Se
, então
e
, logo
, garantindo solução real para
. Por outro lado, se
ou
, não se obtém
consistente ou
, então tais valores não aparecem na imagem.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: