Para cada conjunto considerado prove que o conjunto de pontos de acumulação é como indicado.
Se A=\mathbb{Q} então A^{\prime}=\mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, tomando
A = \mathbb{Q},
o conjunto de pontos de acumulação
A' = \{\,x\in\mathbb{R} \mid \forall \varepsilon>0,\;( (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\setminus\{x\})\cap A \neq\varnothing\}
é exatamente \mathbb{R}. Vamos usar a densidade dos racionais em \mathbb{R} e a definição de ponto de acumulação em espaços métricos.

Passo 2

Mostramos primeiro que todo x\in\mathbb{R} pertence a A'. Seja x\in\mathbb{R} e tome um \varepsilon>0. Como \mathbb{Q} é denso em \mathbb{R}, existe um racional q tal que
x - \varepsilon < q < x + \varepsilon.
Se por acaso q = x, basta escolher outro racional diferente (há infinitos racionais no intervalo). Logo existe q\in \mathbb{Q}, q\neq x, com
q\in (x-\varepsilon,\;x+\varepsilon)\setminus\{x\}.
Isso mostra que qualquer vizinhança pontuada de x intercepta A=\mathbb{Q}, ou seja, x é ponto de acumulação. Assim
\mathbb{R}\subset A'.

Passo 3

Por definição, A' é composto de limites de sequências de elementos de A\subset\mathbb{R}. Logo não pode haver ponto de acumulação fora de \mathbb{R}. Em outras palavras,
A'\subset \mathbb{R}.

Resposta

Portanto
A' = \mathbb{R}.

Exercícios relacionados