Para cada conjunto considerado prove que o conjunto de pontos de acumulação é como indicado.
Se
então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, tomando
o conjunto de pontos de acumulação
é exatamente
. Vamos usar a densidade dos racionais em
e a definição de ponto de acumulação em espaços métricos.
Passo 2
Mostramos primeiro que todo
pertence a
. Seja
e tome um
. Como
é denso em
, existe um racional
tal que
Se por acaso
, basta escolher outro racional diferente (há infinitos racionais no intervalo). Logo existe
,
, com
Isso mostra que qualquer vizinhança pontuada de
intercepta
, ou seja,
é ponto de acumulação. Assim
Passo 3
Por definição,
é composto de limites de sequências de elementos de
. Logo não pode haver ponto de acumulação fora de
. Em outras palavras,
Resposta
Portanto