Para cada conjunto considerado prove que o conjunto de pontos de acumulação é como indicado.
Se A=\mathbb{N} então A^{\prime}=\emptyset.

Passo 1

O enunciado define A=\mathbb{N}\subset\mathbb{R} e pede o conjunto derivado A', isto é, o conjunto de todos os pontos de acumulação de A. Vamos usar a definição: um ponto x\in\mathbb{R} é de acumulação de A se, para todo \varepsilon>0,
(x-\varepsilon,\;x+\varepsilon)\;\cap\;\bigl(A\setminus\{x\}\bigr)\neq\emptyset.

Passo 2

Seja x\in\mathbb{R} qualquer. Mostramos que existe \varepsilon>0 tal que
(x-\varepsilon,\;x+\varepsilon)\;\cap\;\bigl(A\setminus\{x\}\bigr)=\emptyset,
o que prova que x não é ponto de acumulação de A.
Caso 1: x\notin\mathbb{N}.
Como x não é inteiro, o conjunto \{|x-n|\colon n\in\mathbb{N}\} não contém zero, logo
d \;=\;\inf_{n\in\mathbb{N}}|x-n|\;>\;0.
Tomando \varepsilon=d/2, nenhum n\in\mathbb{N} cai em (x-\varepsilon,x+\varepsilon), pois toda distância a um inteiro é \ge d.
Caso 2: x\in\mathbb{N}.
Os inteiros diferentes de x mais próximos estão a distância 1. Basta escolher
\varepsilon=\tfrac12
para que o intervalo (x-\tfrac12,x+\tfrac12) contenha x mas nenhum outro inteiro.
Em ambos os casos isolamos x de todos os elementos de A\setminus\{x\}, mostrando que não há pontos de acumulação.

Passo 3

Como nenhum x\in\mathbb{R} satisfaz a condição de ponto de acumulação, o conjunto derivado de A é vazio.

Resposta

A'=\emptyset

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