Para cada conjunto considerado prove que o conjunto de pontos de acumulação é como indicado.
Se
então
.
Se
Passo 1
O enunciado define
e pede o conjunto derivado
, isto é, o conjunto de todos os pontos de acumulação de
. Vamos usar a definição: um ponto
é de acumulação de
se, para todo
,
Passo 2
Seja
qualquer. Mostramos que existe
tal que
o que prova que
não é ponto de acumulação de
.
Caso 1:
.
Como não é inteiro, o conjunto
não contém zero, logo
Como
Tomando
, nenhum
cai em
, pois toda distância a um inteiro é
.
Caso 2:
.
Os inteiros diferentes de mais próximos estão a distância
. Basta escolher
Os inteiros diferentes de
para que o intervalo
contenha
mas nenhum outro inteiro.
Em ambos os casos isolamos
de todos os elementos de
, mostrando que não há pontos de acumulação.
Passo 3
Como nenhum
satisfaz a condição de ponto de acumulação, o conjunto derivado de
é vazio.