Usando a definição epsilon-\delta de limite mostre que
\lim _{x \rightarrow 0} e^{x}=1.

Passo 1

O que queremos provar é que, segundo a definição \varepsilon- \delta de limite, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que
0<|x-0|<\delta\quad\Longrightarrow\quad\bigl|e^{x}-1\bigr|<\varepsilon.
O conteúdo chave é o Teorema do Valor Médio aplicado à função f(x)=e^{x}, cuja derivada é f'(x)=e^{x}.

Passo 2

Pelo Teorema do Valor Médio, para cada x existe um ponto c entre 0 e x tal que
e^{x}-e^{0}=f'\text{(c)}\,(x-0)\quad\Longrightarrow\quad e^{x}-1=e^{c}\,x.
Se restringirmos a análise a |x|<1, então c também satisfaz |c|<1, e assim
\bigl|e^{x}-1\bigr|=e^{c}\,|x|\le e^{|c|}\,|x|<e\,|x|.

Passo 3

Dado \varepsilon>0, escolha
\delta=\min\bigl\{1,\;\tfrac{\varepsilon}{e}\bigr\}.
Então, sempre que 0<|x|<\delta\le1 temos
\bigl|e^{x}-1\bigr|\le e\,|x|<e\,\delta\le e\cdot\tfrac{\varepsilon}{e}=\varepsilon.

Passo 4

Mostramos que esse \delta depende apenas de \varepsilon e satisfaz a condição da definição de limite. Portanto,
\lim_{x\to0}e^{x}=1.

Resposta

\displaystyle 1

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