Seja
. Se
prove que existe uma sequência monótona
em
tal que
(monótona
crescente ou decrescente).
Passo 1
O enunciado diz que
e que
, isto é,
é ponto de acumulação de
. Queremos mostrar que existe uma sequência monótona (crescente ou decrescente)
tal que
O conteúdo principal aqui é usar a definição de ponto de acumulação em
e depois construir, por uma escolha indutiva, uma sequência monotônica que tende a
.
Passo 2
Como
, pela definição de ponto de acumulação temos:
para todo
para todo
Em particular, para cada
existe algum ponto de
em
.
Passo 3
Dos pontos obtidos em cada vizinhança
, alguns ficarão à direita de
e outros à esquerda. Defina os conjuntos de índices
Como para todo
ao menos um desses intervalos contém ponto de
, a união
. Logo pelo princípio da gaveta um dos dois conjuntos
ou
é infinito.
- Se
é infinito, construiremos uma sequência decrescente com termos em . - Se
é infinito, construiremos uma sequência crescente com termos em .
Passo 4
Suponha
infinito (caso simétrico em
é análogo). Vamos definir por indução uma sequência
que tende a
e é estritamente decrescente:
Início (
). Escolha qualquer
.
Passo indutivo. Suponha já escolhidos
. Defina
Como
é infinito, existe algum índice
grande o suficiente em
tal que
. Em particular
Escolha então
Pelo modo como definimos
temos
ou seja,
.
Isso conclui a construção de
.
Verificação da convergência. Como
, segue
Passo 5
Se
for infinito, procede-se de modo totalmente análogo, escolhendo
e em cada passo indutivo definindo
escolhendo
o que garante
e
. Assim obtemos uma sequência crescente que tende a
.
Resposta
Mostramos que, se
, então ou há infinitos pontos de
à direita de
e daí surge uma sequência decrescente em
convergindo a
, ou há infinitos pontos à esquerda de
e daí surge uma sequência crescente em
convergindo a
. Portanto sempre existe uma sequência monótona em
que tende a
.