Para cada conjunto do R^3 abaixo, determine se ele é um subespaço do R^3. Justifique.
B=(x, y, z): x=y=z

Passo 1

O conjunto BsubsetR^3 é dado por
B=(x,y,z)mid x=y=z
Queremos verificar se B é um subespaço vetorial de R^3. Para isso, vamos usar a definição de subespaço: precisamos checar que
1. 0in B.
2. Se u,vin B então u+vin B.
3. Se uin B e cinR então c,uin B.

Passo 2

Verificamos o vetor nulo:
0=(0,0,0)
Como 0=0=0, segue que 0in B.

Passo 3

Sejam u=(a,a,a) e v=(b,b,b) vetores quaisquer de B. Então
u+v=(a+a,,a+a,,a+a)=(a+b,a+b,a+b),
onde claramente todas as coordenadas são iguais, logo u+vin B.

Passo 4

Seja u=(a,a,a)in B e cinR. Então
c,u=(c,a,c,a,c,a),
novamente com todas as coordenadas iguais, o que mostra c,uin B.

Resposta

O conjunto B satisfaz as três propriedades de subespaço vetorial e, portanto, é um subespaço de R^3.\newline
Geometricamente, B é a reta que passa pela origem e pelo ponto (1,1,1), isto é,
B=span(1,1,1)

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