Dentre os seguintes conjuntos, quais geram o R^3 ? Quais são LI ou LD? Quais são base do R^3 Justifique sua resposta:
beta=(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,2,3)
R : LD

Passo 1

Beleza, vamos analisar o conjunto de vetores beta = (1,0,0), (0,1,1), (1,0,1), (1,2,3). O que a gente precisa descobrir aqui é: quais desses vetores geram o espaço R^3, se eles são linearmente independentes ou dependentes, e se formam uma base para R^3. Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear, dependência linear e bases em álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se esses vetores geram R^3. Para gerar R^3, precisamos que qualquer vetor no espaço possa ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Mas como temos quatro vetores em um espaço de três dimensões, provavelmente eles são dependentes, então talvez não precisemos de todos para gerar o espaço.

Passo 3

Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e ver o seu posto (número de colunas lineares independentes). A matriz fica assim:
1 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & 2 0 & 1 & 1 & 3

Passo 4

Agora, vamos fazer operações de linha para reduzir essa matriz e encontrar o posto. Primeiro, podemos subtrair a primeira coluna da terceira e da quarta:
1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 2 0 & 1 & 1 & 3
Em seguida, subtraímos a segunda coluna da terceira e da quarta:
1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 1 & 1
Agora, a matriz está na forma escalonada, e vemos que há três pivôs (números 1 na diagonal), então o posto é 3.

Passo 5

Como o posto da matriz é 3, isso significa que temos 3 vetores linearmente independentes que geram R^3. Como temos quatro vetores, pelo menos um deles é combinação linear dos outros, ou seja, são linearmente dependentes (LD).

Passo 6

Para formar uma base de R^3, precisamos de exatamente três vetores que sejam linearmente independentes. Do conjunto beta, podemos escolher, por exemplo, os vetores (1,0,0), (0,1,1) e (1,0,1), que são independentes e geram o espaço.

Resposta

O conjunto beta gera R^3 porque seu posto é 3. Os quatro vetores são linearmente dependentes (LD). Uma base de R^3 pode ser formada por qualquer subconjunto de três vetores de beta que sejam linearmente independentes, como por exemplo (1,0,0), (0,1,1), (1,0,1).

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