Dentre os seguintes conjuntos, quais geram o R^3 ? Quais são LI ou LD? Quais são base do R^3 Justifique sua resposta:
(2,1,-2),(3,2,-2),(2,2,0)
R: LD

Passo 1

Beleza, então a questão pede para a gente analisar o conjunto de três vetores (2,1,-2), (3,2,-2), (2,2,0) para ver se eles geram o espaço R^3. Vamos precisar entender sobre gerar um espaço vetorial, independência linear (IL) e dependência linear (DL), e também o que é uma base de um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se esses vetores geram o R^3. Isso significa que qualquer vetor em R^3 pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Para isso, precisamos verificar se eles são suficientes para “preencher” todo o espaço tridimensional.

Passo 3

Para verificar se os vetores geram R^3, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes (LI) e, portanto, geram R^3 e formam uma base.
A matriz fica assim:
A = 2 & 3 & 2 1 & 2 & 2 -2 & -2 & 0

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante de A:
det(A) = 2 cdot 2 & 2 -2 & 0 - 3 cdot 1 & 2 -2 & 0 + 2 cdot 1 & 2 -2 & -2
Calculando os menores:
  • 2 & 2 -2 & 0 = (2)(0) - (2)(-2) = 0 + 4 = 4
  • 1 & 2 -2 & 0 = (1)(0) - (2)(-2) = 0 + 4 = 4
  • 1 & 2 -2 & -2 = (1)(-2) - (2)(-2) = -2 + 4 = 2
Substituindo:
det(A) = 2(4) - 3(4) + 2(2) = 8 - 12 + 4 = 0

Passo 5

Como o determinante da matriz A é zero, isso significa que os vetores são linearmente dependentes (LD). Ou seja, pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.

Passo 6

Agora, como os vetores são LD, eles não geram todo o espaço R^3 e, portanto, não formam uma base para R^3.

Resposta

O conjunto de vetores (2,1,-2), (3,2,-2), (2,2,0) é linearmente dependente (LD), não gera R^3 e não constitui uma base para R^3.

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