Considere
U=(x, y, x, y) in R^4: x, y in R
Determine uma base e a dimensão de U.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um conjunto U definido por:
U = (x, y, x, y) in R^4 : x, y in R
Então, o objetivo aqui é encontrar uma base para U e determinar a dimensão desse espaço. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como vetores, combinações lineares e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor como são os vetores em U . Cada vetor em U tem a forma (x, y, x, y) . Isso significa que o primeiro e o terceiro componentes são iguais a x , e o segundo e o quarto componentes são iguais a y .

Passo 3

Podemos reescrever qualquer vetor (x, y, x, y) como uma combinação linear de dois vetores básicos. Vamos separar os termos com x e os termos com y :
(x, y, x, y) = x cdot (1, 0, 1, 0) + y cdot (0, 1, 0, 1)
Aqui, (1, 0, 1, 0) e (0, 1, 0, 1) são os vetores que vamos usar para formar a base.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se esses dois vetores são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma combinação não trivial deles resulta no vetor zero. Seja:
a cdot (1, 0, 1, 0) + b cdot (0, 1, 0, 1) = (0, 0, 0, 0)
Isso nos dá o sistema de equações:
a = 0 b = 0 a = 0 b = 0
A única solução é a = 0 e b = 0 , o que confirma que os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Como encontramos que (1, 0, 1, 0) e (0, 1, 0, 1) são linearmente independentes e que qualquer vetor em U pode ser escrito como uma combinação deles, podemos concluir que esses vetores formam uma base para U .

Passo 6

Finalmente, a dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores na sua base. Como nossa base tem 2 vetores, a dimensão de U é 2.

Resposta

Uma base para U é formada pelos vetores , (1,,0,;1,,0),; (0,,1,;0,,1) , e a dimensão de U é 2.

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