Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um conjunto definido por:
Então, o objetivo aqui é encontrar uma base para e determinar a dimensão desse espaço. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como vetores, combinações lineares e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor como são os vetores em . Cada vetor em tem a forma . Isso significa que o primeiro e o terceiro componentes são iguais a , e o segundo e o quarto componentes são iguais a .
Passo 3
Podemos reescrever qualquer vetor como uma combinação linear de dois vetores básicos. Vamos separar os termos com e os termos com :
Aqui, e são os vetores que vamos usar para formar a base.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se esses dois vetores são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma combinação não trivial deles resulta no vetor zero. Seja:
Isso nos dá o sistema de equações:
A única solução é a = 0 e b = 0 , o que confirma que os vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Como encontramos que (1, 0, 1, 0) e (0, 1, 0, 1) são linearmente independentes e que qualquer vetor em U pode ser escrito como uma combinação deles, podemos concluir que esses vetores formam uma base para U .
Passo 6
Finalmente, a dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores na sua base. Como nossa base tem 2 vetores, a dimensão de U é 2.
Resposta
Uma base para U é formada pelos vetores , (1,,0,;1,,0),; (0,,1,;0,,1) , e a dimensão de U é 2.