Beleza, vamos lá! A gente está trabalhando no espaço vetorial e o que precisamos fazer é verificar se, para cada conjunto de vetores que o exercício deu, eles são linearmente dependentes (ld) ou linearmente independentes (li). Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e determinantes. Se o determinante de uma matriz formada pelos vetores for diferente de zero, eles são independentes. Se for zero, são dependentes. Vamos analisar cada item agora.
Passo 2
(a) Vetores: , ,
Primeiro, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det = 1 times (1 times 0 - 1 times 0) - 1 times (1 times 0 - 1 times 0) + 1 times (1 times 0 - 1 times 1) = 0 - 0 -1 = -1
Como o determinante é diferente de zero (-1 neq 0), os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
(b) Vetores: (1,2,1), (1,1,9), (0,0,0)
Aqui, observamos que um dos vetores é o vetor zero (0,0,0). Na teoria, se qualquer vetor em um conjunto é o vetor zero, o conjunto é automaticamente linearmente dependente, porque o vetor zero pode ser escrito como uma combinação linear trivial (coeficientes todos zero) dos outros vetores.
det = -1 times (0 times 0 - (-1) times 2) - 1 times (2 times 0 - (-1) times 1) + (-2) times (2 times 2 - 0 times 1) = -1 times (0 + 2) -1 times (0 +1) + (-2) times (4 -0) = -2 -1 -8 = -11
Como o determinante é diferente de zero (-11 neq 0), os vetores são linearmente independentes.