Considere o espaço vetorial (R^3,+, cdot) com as operações usuais. Para cada um dos itens, diga se os vetores são ld ou li. Justifique a sua resposta.
(a) (1,1,1),(1,1,0),(1,0,0).
(b) (1,2,1),(1,1,9),(0,0,0).
© (-1,2,1),(1,0,2),(-2,-1,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente está trabalhando no espaço vetorial R^3 e o que precisamos fazer é verificar se, para cada conjunto de vetores que o exercício deu, eles são linearmente dependentes (ld) ou linearmente independentes (li). Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e determinantes. Se o determinante de uma matriz formada pelos vetores for diferente de zero, eles são independentes. Se for zero, são dependentes. Vamos analisar cada item agora.

Passo 2

(a) Vetores: (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)

Primeiro, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det = 1 times (1 times 0 - 1 times 0) - 1 times (1 times 0 - 1 times 0) + 1 times (1 times 0 - 1 times 1) = 0 - 0 -1 = -1
Como o determinante é diferente de zero ( -1 neq 0), os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

(b) Vetores: (1,2,1), (1,1,9), (0,0,0)

Aqui, observamos que um dos vetores é o vetor zero (0,0,0). Na teoria, se qualquer vetor em um conjunto é o vetor zero, o conjunto é automaticamente linearmente dependente, porque o vetor zero pode ser escrito como uma combinação linear trivial (coeficientes todos zero) dos outros vetores.

Passo 4

© Vetores: (-1,2,1), (1,0,2), (-2,-1,0)

Vamos montar a matriz com esses vetores:
-1 & 1 & -2 2 & 0 & -1 1 & 2 & 0
Calculando o determinante:
det = -1 times (0 times 0 - (-1) times 2) - 1 times (2 times 0 - (-1) times 1) + (-2) times (2 times 2 - 0 times 1) = -1 times (0 + 2) -1 times (0 +1) + (-2) times (4 -0) = -2 -1 -8 = -11
Como o determinante é diferente de zero ( -11 neq 0), os vetores são linearmente independentes.

Resposta

(a) Linearmente independentes (li).
(b) Linearmente dependentes (ld).
© Linearmente independentes (li).

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