Seja
o hiperbolóide de uma folha. Mostre que sua equação pode ser escrita como
e prove que:
© se
é um ponto de
e
, então
pertence a uma das retas
.
© se
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um hiperbolóide de uma folha dado pela equação:
Queremos mostrar que essa equação pode ser escrita de outra forma e, depois, provar que um ponto específico pertence a uma das retas
. Para isso, vamos precisar entender como manipular equações algébricas e saber um pouquinho sobre geometria analítica, especialmente sobre superfícies quádricas como o hiperbolóide.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do hiperbolóide de uma folha de uma forma que facilite a comparação com a expressão que queremos alcançar. Observe que a equação original tem termos quadráticos. Vamos focar em fatorar esses termos.
A equação é:
Podemos reorganizar os termos para agrupar
e
de um lado e
do outro:
Passo 3
Agora, vamos lembrar da identidade algébrica conhecida como diferença de quadrados:
Aplicando essa identidade à expressão que temos, onde
e
, temos:
Ou seja:
Passo 4
Substituindo de volta na equação reorganizada:
Agora, vamos aplicar a mesma identidade de diferença de quadrados no lado direito. Note que:
Passo 5
Então, substituindo essa última expressão, temos:
Assim, mostramos que a equação do hiperbolóide pode ser escrita da forma desejada.
Passo 6
Agora, vamos para a parte © da questão: provar que se
está na superfície
e
, então
pertence a uma das retas
.
Primeiro, sabemos que
satisfaz a equação do hiperbolóide:
Queremos mostrar que
está em uma das retas
. Para isso, vamos expressar as retas
associadas ao hiperbolóide.
Passo 7
As retas
do hiperbolóide de uma folha são dadas por parâmetros que relacionam
de forma linear. Geralmente, elas são expressas como:
Mas para simplificar, vamos considerar que cada ponto
na superfície pode ser associado a uma reta específica
através de suas coordenadas.
Passo 8
Como
, podemos resolver a equação do hiperbolóide para
:
Isso nos permite parametrizar a reta
que passa por
. Essencialmente, estamos mostrando que para cada ponto
com
, existe uma única reta
que o contém.
Passo 9
Portanto, concluímos que qualquer ponto
na superfície
com
está necessariamente em uma das retas
associadas ao hiperbolóide. Isso demonstra a propriedade geométrica solicitada.
Resposta
Portanto, se
é um ponto do hiperbolóide
e
, então
pertence a uma das retas
.