Sejam
uma sequência de conjuntos não-vazios satisfazendo
. Dê exemplos mostrando que
pode ser vazia se:
(b) os
's são apenas limitados.
(b) os
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de uma sequência
tal que:
- Cada
é não-vazio; - A sequência é decrescente, isto é
para todo ; - Cada
é limitada;
e que, mesmo assim, a interseção totalseja vazia.
Vou apresentar um exemplo concreto e provar passo a passo que ele satisfaz todas as condições e que a interseção é vazia.
Passo 2
Defino os conjuntos
Vou verificar cada propriedade pedida para esses
.
Passo 3
Prova de que cada
é não-vazio.
Basta dar um elemento que pertença a . Note que
Basta dar um elemento que pertença a
porque
. Assim cada
contém pelo menos esse ponto, logo é não-vazio.
Passo 4
Prova de que a sequência é decrescente:
para
.
Para temos
. Portanto todo
que satisfaz
também satisfaz
, isto é
. Logo
Para
Passo 5
Prova de que cada
é limitada.
Cada está contido no intervalo
, pois
para todo
. Assim existe um número real (por exemplo
) que é uma cota superior comum; portanto cada
é limitada.
Cada
Passo 6
Prova de que
.
Mostrarei que nenhum real pode pertencer à interseção.
Mostrarei que nenhum real
-
Se
, então claramente para qualquer , logo . -
Se
, uso a propriedade arquimediana: existe tal que . Por exemplo pode-se tomar . Dessa escolha segue
Mas então
. Como
falha em pertencer a pelo menos um dos
, não pertence à interseção.
Como qualquer
cai em um dos dois casos acima e em ambos não pertence à interseção, concluímos que
Passo 7
Comentário didático rápido (para fixar a ideia).
Este exemplo mostra que ser apenas limitado não garante que a interseção de conjuntos fechados em cadeia decrescente seja não-vazia; o problema aqui é que os não são fechados (eles não contêm
). Existe um teorema útil: se os
são não-vazios, compactos (em
: fechados e limitados) e decrescentes, então
. A falha da hipótese “fechado” no nosso exemplo permite a interseção vazia.
Este exemplo mostra que ser apenas limitado não garante que a interseção de conjuntos fechados em cadeia decrescente seja não-vazia; o problema aqui é que os
Resposta
Por exemplo,
para
. Neste caso cada
é não-vazio,
e é limitada, e
.