Sejam F_{n} \subset \mathbb{R} uma sequência de conjuntos não-vazios satisfazendo F_{n} \subset F_{n-1}. Dê exemplos mostrando que \bigcap_{i \in \mathbb{N}} F_{i} pode ser vazia se:
(b) os F_{i} 's são apenas limitados.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de uma sequência F_{n}\subset\mathbb{R} tal que:
  • Cada F_{n} é não-vazio;
  • A sequência é decrescente, isto é F_{n}\subset F_{n-1} para todo n;
  • Cada F_{n} é limitada;
    e que, mesmo assim, a interseção total \bigcap_{n\in\mathbb{N}} F_{n} seja vazia.
    Vou apresentar um exemplo concreto e provar passo a passo que ele satisfaz todas as condições e que a interseção é vazia.

Passo 2

Defino os conjuntos
F_{n}=(0,\tfrac{1}{n}),\qquad n\in\mathbb{N}.
Vou verificar cada propriedade pedida para esses F_{n}.

Passo 3

Prova de que cada F_{n} é não-vazio.
Basta dar um elemento que pertença a F_{n}. Note que
\tfrac{1}{n+1}\in(0,\tfrac{1}{n})
porque 0<\tfrac{1}{n+1}<\tfrac{1}{n}. Assim cada F_{n} contém pelo menos esse ponto, logo é não-vazio.

Passo 4

Prova de que a sequência é decrescente: F_{n}\subset F_{n-1} para n\ge2.
Para n\ge2 temos \tfrac{1}{n}<\tfrac{1}{n-1}. Portanto todo x que satisfaz 0<x<\tfrac{1}{n} também satisfaz 0<x<\tfrac{1}{n-1}, isto é x\in(0,\tfrac{1}{n-1}). Logo
F_{n}\subset F_{n-1}.

Passo 5

Prova de que cada F_{n} é limitada.
Cada F_{n} está contido no intervalo (0,1], pois \tfrac{1}{n}\le 1 para todo n\ge1. Assim existe um número real (por exemplo 1) que é uma cota superior comum; portanto cada F_{n} é limitada.

Passo 6

Prova de que \displaystyle\bigcap_{n\in\mathbb{N}}F_{n}=\varnothing.
Mostrarei que nenhum real x pode pertencer à interseção.
  • Se x\le 0, então claramente x\notin(0,\tfrac{1}{n}) para qualquer n, logo x\notin\bigcap_{n}F_{n}.
  • Se x>0, uso a propriedade arquimediana: existe N\in\mathbb{N} tal que N>\tfrac{1}{x}. Por exemplo pode-se tomar N=\lfloor\tfrac{1}{x}\rfloor+1. Dessa escolha segue
\frac{1}{N}<x.
Mas então x\notin(0,\tfrac{1}{N})=F_{N}. Como x falha em pertencer a pelo menos um dos F_{n}, não pertence à interseção.
Como qualquer x\in\mathbb{R} cai em um dos dois casos acima e em ambos não pertence à interseção, concluímos que
\bigcap_{n\in\mathbb{N}}F_{n}=\varnothing.

Passo 7

Comentário didático rápido (para fixar a ideia).
Este exemplo mostra que ser apenas limitado não garante que a interseção de conjuntos fechados em cadeia decrescente seja não-vazia; o problema aqui é que os F_{n} não são fechados (eles não contêm 0). Existe um teorema útil: se os F_{n} são não-vazios, compactos (em \mathbb{R}: fechados e limitados) e decrescentes, então \bigcap_{n}F_{n}\neq\varnothing. A falha da hipótese “fechado” no nosso exemplo permite a interseção vazia.

Resposta

Por exemplo, F_{n}=(0,\tfrac{1}{n}) para n\in\mathbb{N}. Neste caso cada F_{n} é não-vazio, F_{n}\subset F_{n-1} e é limitada, e \displaystyle\bigcap_{n\in\mathbb{N}}F_{n}=\varnothing.

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