Para cada dos conjuntos C, encontre uma bijeção explícita f:(0,1) \rightarrow C :
C=(0, \infty)

Passo 1

O enunciado pede uma bijeção explícita \displaystyle f:(0,1)\to C
onde C=(0,\infty).
O conteúdo aqui é construir uma função contínua que vá de 0 a 1 em todo o intervalo positivo sem atingir os extremos.

Passo 2

Definimos a função
f(x) \;=\;\frac{x}{1-x}\,,\quad x\in(0,1).
Para cada x\in(0,1), temos x>0 e 1-x>0, logo f(x)>0. Assim f está bem-definida em (0,1) com imagem em (0,\infty).

Passo 3

Mostramos que f é injetiva. Basta notar que, para x\in(0,1),
f'(x) =\frac{(1-x)\cdot1 - x\cdot(-1)}{(1-x)^{2}} =\frac{1-x+x}{(1-x)^{2}} =\frac{1}{(1-x)^{2}}>0.
Logo f é estritamente crescente e, portanto, injetiva.

Passo 4

Mostramos que f é sobrejetiva. Seja y>0. Queremos x\in(0,1) tal que
\frac{x}{1-x}=y.
Resolvendo em x:
x = y(1-x) \quad\Longrightarrow\quad x = y - y\,x \quad\Longrightarrow\quad x(1+y)=y \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{y}{1+y}.
Como y>0 implica 0<\tfrac{y}{1+y}<1, esse x está em (0,1) e satisfaz f(x)=y.

Passo 5

Concluímos que f é injetiva e sobrejetiva, isto é, bijetiva. A inversa é
f^{-1}(y)=\frac{y}{1+y},\quad y\in(0,\infty).

Resposta

f(x)=\frac{x}{1-x},\quad x\in(0,1),
que é bijeção de (0,1) em (0,\infty) com inversa f^{-1}(y)=\tfrac{y}{1+y}.

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