Para cada dos conjuntos
, encontre uma bijeção explícita
:
Passo 1
O enunciado pede uma bijeção explícita
onde .
O conteúdo aqui é construir uma função contínua que vá de a
em todo o intervalo positivo sem atingir os extremos.
onde
O conteúdo aqui é construir uma função contínua que vá de
Passo 2
Definimos a função
Para cada
, temos
e
, logo
. Assim
está bem-definida em
com imagem em
.
Passo 3
Mostramos que
é injetiva. Basta notar que, para
,
Logo
é estritamente crescente e, portanto, injetiva.
Passo 4
Mostramos que
é sobrejetiva. Seja
. Queremos
tal que
Resolvendo em
:
Como
implica
, esse
está em
e satisfaz
.
Passo 5
Concluímos que
é injetiva e sobrejetiva, isto é, bijetiva. A inversa é
Resposta
que é bijeção de
em
com inversa
.