Para cada dos conjuntos
, encontre uma bijeção explícita
:
Passo 1
O enunciado pede uma bijeção explícita
.
O conteúdo aqui é mostrar que existe uma função contínua e estritamente monótona de sobre
. Para isso, vamos usar a transformação logística invertida.
O conteúdo aqui é mostrar que existe uma função contínua e estritamente monótona de
Passo 2
Definimos
para todo
. Primeiro, note que para
temos
, então
está bem definido em
.
Passo 3
Para ver que
é injetiva, calculamos a derivada
em todo
. Como
é sempre positiva,
é estritamente crescente e, portanto, injetiva.
Passo 4
Para mostrar que
é sobrejetiva, seja
. Queremos
tal que
Exponenciando,
, de onde
Como
, esse
pertence a
e satisfaz
. Logo,
é sobrejetiva.
Resposta
Uma bijeção explícita é