Para cada dos conjuntos C, encontre uma bijeção explícita f:(0,1) \rightarrow C :
C=\mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede uma bijeção explícita (0,1)\to\mathbb{R}.
O conteúdo aqui é mostrar que existe uma função contínua e estritamente monótona de (0,1) sobre \mathbb{R}. Para isso, vamos usar a transformação logística invertida.

Passo 2

Definimos
f(x)=\ln\!\biggl(\frac{x}{1-x}\biggr),
para todo x\in(0,1). Primeiro, note que para x\in(0,1) temos x/(1-x)>0, então \ln(x/(1-x)) está bem definido em \mathbb{R}.

Passo 3

Para ver que f é injetiva, calculamos a derivada
f'(x)=\frac{d}{dx}\ln\!\biggl(\frac{x}{1-x}\biggr) =\frac{1}{x/(1-x)}\cdot\frac{(1-x)-x(-1)}{(1-x)^2} =\frac{1}{x(1-x)}>0
em todo (0,1). Como f' é sempre positiva, f é estritamente crescente e, portanto, injetiva.

Passo 4

Para mostrar que f é sobrejetiva, seja y\in\mathbb{R}. Queremos x\in(0,1) tal que
\ln\!\biggl(\frac{x}{1-x}\biggr)=y.
Exponenciando, \tfrac{x}{1-x}=e^y, de onde
x=\frac{e^y}{1+e^y}.
Como e^y>0, esse x pertence a (0,1) e satisfaz f(x)=y. Logo, f é sobrejetiva.

Resposta

Uma bijeção explícita é
f\colon(0,1)\to\mathbb{R},\qquad f(x)=\ln\!\biggl(\frac{x}{1-x}\biggr).

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