- Seja
um conjunto com a seguinte propriedade: “toda seqüência
que converge para um ponto
tem seus termos
pertencentes a
para todo
suficientemente grande”. Prove que
é aberto.
Passo 1
O enunciado dá um conjunto
tal que toda sequência
que converge para um ponto
satisfaz: existe
com
para todo
. Queremos mostrar que
é aberto, ou seja, que para cada
existe
tal que
Passo 2
Fixe
. Suponha, por absurdo, que nenhum intervalo aberto centrado em
esteja contido em
. Então, para cada
existe um ponto
com
Essa definição garante que
. Mas a hipótese do enunciado exige que, para
, toda sequência convergente a
tenha termos em
a partir de algum índice grande. Aqui, pelo menos os
estão todos fora de
, contradizendo a propriedade dada.
Passo 3
Logo o absurdo mostra que existe algum
tal que
. Como
foi um ponto arbitrário de
, concluímos que
é aberto.