1. Seja A \subset \mathbb{R} um conjunto com a seguinte propriedade: “toda seqüência \left(x_{n}\right) que converge para um ponto a \in A tem seus termos x_{n} pertencentes a A para todo n suficientemente grande”. Prove que A é aberto.

Passo 1

O enunciado dá um conjunto A\subset\mathbb{R} tal que toda sequência \bigl(x_{n}\bigr) que converge para um ponto a\in A satisfaz: existe N com x_{n}\in A para todo n\ge N. Queremos mostrar que A é aberto, ou seja, que para cada a\in A existe \delta>0 tal que
(a-\delta,\;a+\delta)\subset A.

Passo 2

Fixe a\in A. Suponha, por absurdo, que nenhum intervalo aberto centrado em a esteja contido em A. Então, para cada k\in\mathbb{N} existe um ponto x_{k}\notin A com
|x_{k}-a|<\frac1{k}.
Essa definição garante que x_{k}\to a. Mas a hipótese do enunciado exige que, para a\in A, toda sequência convergente a a tenha termos em A a partir de algum índice grande. Aqui, pelo menos os x_{k} estão todos fora de A, contradizendo a propriedade dada.

Passo 3

Logo o absurdo mostra que existe algum \delta>0 tal que (a-\delta,a+\delta)\subset A. Como a foi um ponto arbitrário de A, concluímos que A é aberto.

Resposta

A é aberto.

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