Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se é fechado, aberto ou nenhum dos dois. Se o conjunto não for aberto, encontre um ponto que não é ponto interior do conjunto. Se o conjunto não for fechado, encontre um ponto aderente que não pertence ao conjunto.
Passo 1
O enunciado pede para classificar o conjunto
como aberto, fechado ou nenhum dos dois. Vamos usar as definições:
– Um conjunto é aberto se, para todo
, existe
tal que
.
– Um conjunto é fechado se o seu complemento
é aberto.
– Um conjunto
– Um conjunto
Passo 2
Verificamos se
é aberto. Tome qualquer
. Se existisse
com
então todos os pontos desse intervalo precisariam ser naturais. Mas para qualquer
o intervalo
contém reais não inteiros, logo não inteiros naturais. Em particular, o ponto
não admite bola aberta centrada nele contida em
. Portanto
não é aberto e
é um ponto que não é interior.
Passo 3
Agora vemos se
é fechado. Observe que
Cada intervalo
e
é aberto, e união de abertos é aberto. Logo
é aberto, o que implica que
é fechado.