Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se é fechado, aberto ou nenhum dos dois. Se o conjunto não for aberto, encontre um ponto que não é ponto interior do conjunto. Se o conjunto não for fechado, encontre um ponto aderente que não pertence ao conjunto.
\mathbb{N}

Passo 1

O enunciado pede para classificar o conjunto \mathbb{N}\subset\mathbb{R} como aberto, fechado ou nenhum dos dois. Vamos usar as definições:
– Um conjunto U\subset\mathbb{R} é aberto se, para todo x\in U, existe \varepsilon>0 tal que (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset U.
– Um conjunto F\subset\mathbb{R} é fechado se o seu complemento \mathbb{R}\setminus F é aberto.

Passo 2

Verificamos se \mathbb{N} é aberto. Tome qualquer n\in\mathbb{N}. Se existisse \varepsilon>0 com
(n-\varepsilon,n+\varepsilon)\subset\mathbb{N},
então todos os pontos desse intervalo precisariam ser naturais. Mas para qualquer \varepsilon>0 o intervalo (n-\varepsilon,n+\varepsilon) contém reais não inteiros, logo não inteiros naturais. Em particular, o ponto 1 não admite bola aberta centrada nele contida em \mathbb{N}. Portanto \mathbb{N} não é aberto e 1 é um ponto que não é interior.

Passo 3

Agora vemos se \mathbb{N} é fechado. Observe que
\mathbb{R}\setminus\mathbb{N} = (-\infty,1)\;\cup\;\bigcup_{n\in\mathbb{N}}(n,n+1).
Cada intervalo (n,n+1) e (-\infty,1) é aberto, e união de abertos é aberto. Logo \mathbb{R}\setminus\mathbb{N} é aberto, o que implica que \mathbb{N} é fechado.

Resposta

\mathbb{N} é fechado e não é aberto. Um ponto que não é interior é 1.

Exercícios relacionados