Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se é fechado, aberto ou nenhum dos dois. Se o conjunto não for aberto, encontre um ponto que não é ponto interior do conjunto. Se o conjunto não for fechado, encontre um ponto aderente que não pertence ao conjunto.
\{1+1 / 2+1 / 3+\cdots+1 / n \mid n \in \mathbb{N}\}

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = \{\,1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \cdots + \tfrac1n \mid n\in\mathbb{N}\},
que é o conjunto dos somatórios parciais da série harmônica. O conteúdo é teoria de topologia em \mathbb{R}: queremos decidir se S é aberto, fechado ou nenhum dos dois, usando definições de ponto interior e ponto aderente (limite).

Passo 2

Observe que a sequência
s_n = 1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \cdots + \tfrac1n
é estritamente crescente e diverge para +\infty. Logo S=\{s_n:n\in\mathbb{N}\} é um conjunto infinito, discreto (cada ponto está isolado dos demais) e não possui limite finito na reta.

Passo 3

Para ver que S não é aberto, basta notar que nenhum s_k é ponto interior: se tomarmos qualquer s_k\in S e qualquer raio \varepsilon>0, o intervalo
(s_k-\varepsilon,\;s_k+\varepsilon)
contém infinitos reais que não pertencem a S. Portanto não existe uma vizinhança de s_k inteiramente contida em S. Por exemplo, 1=s_1 não é ponto interior de S.

Passo 4

Para ver que S é fechado, examinamos seus pontos aderentes (pontos-limite). Um x\in\mathbb{R} é ponto aderente de S se toda vizinhança de x contém algum s_n\neq x. Mas como os s_n formam uma sequência discreta e divergente, não há nenhum x\in\mathbb{R} que se aproxime indefinidamente de termos distintos de s_n. Assim S não tem pontos aderentes fora de si mesmo, ou seja, já contém todos os seus pontos-limite. Logo S é fechado.

Resposta

S não é aberto (por exemplo 1 não é ponto interior) e é fechado (não há ponto aderente em \mathbb{R} fora de S).

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