Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se é fechado, aberto ou nenhum dos dois. Se o conjunto não for aberto, encontre um ponto que não é ponto interior do conjunto. Se o conjunto não for fechado, encontre um ponto aderente que não pertence ao conjunto.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
que é o conjunto dos somatórios parciais da série harmônica. O conteúdo é teoria de topologia em
: queremos decidir se
é aberto, fechado ou nenhum dos dois, usando definições de ponto interior e ponto aderente (limite).
Passo 2
Observe que a sequência
é estritamente crescente e diverge para
. Logo
é um conjunto infinito, discreto (cada ponto está isolado dos demais) e não possui limite finito na reta.
Passo 3
Para ver que
não é aberto, basta notar que nenhum
é ponto interior: se tomarmos qualquer
e qualquer raio
, o intervalo
contém infinitos reais que não pertencem a
. Portanto não existe uma vizinhança de
inteiramente contida em
. Por exemplo,
não é ponto interior de
.
Passo 4
Para ver que
é fechado, examinamos seus pontos aderentes (pontos-limite). Um
é ponto aderente de
se toda vizinhança de
contém algum
. Mas como os
formam uma sequência discreta e divergente, não há nenhum
que se aproxime indefinidamente de termos distintos de
. Assim
não tem pontos aderentes fora de si mesmo, ou seja, já contém todos os seus pontos-limite. Logo
é fechado.