Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se é fechado, aberto ou nenhum dos dois. Se o conjunto não for aberto, encontre um ponto que não é ponto interior do conjunto. Se o conjunto não for fechado, encontre um ponto aderente que não pertence ao conjunto.
Passo 1
O enunciado pede para analisar o conjunto
sob a topologia usual de
: decidir se é aberto, fechado ou nenhum dos dois. Para isso precisamos usar as definições de ponto interior e de ponto aderente (ou ponto de adesão).
Passo 2
Mostramos que
não é aberto. De fato, se
fosse aberto, todo ponto
teria um pequeno intervalo centrado em
contido em
. Mas em qualquer intervalo
existem números irracionais, logo
. Assim nenhum
é ponto interior. Por exemplo,
não é interior, pois todo intervalo ao redor de
contém irracionais.
Passo 3
Mostramos que
não é fechado. Um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos aderentes (ou seja, todos os limites de sequências de pontos do conjunto). Mas toda vizinhança de um número irracional
contém racionais, então
é ponto aderente de
sem pertencer a
. Por exemplo,
é aderente a
porque em qualquer intervalo com centro em
há racionais arbitrariamente próximos.
Resposta
Um ponto que não é interior:
Um ponto aderente que não pertence a