Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se é fechado, aberto ou nenhum dos dois. Se o conjunto não for aberto, encontre um ponto que não é ponto interior do conjunto. Se o conjunto não for fechado, encontre um ponto aderente que não pertence ao conjunto.
\mathbb{Q}

Passo 1

O enunciado pede para analisar o conjunto \mathbb{Q}\subset\mathbb{R} sob a topologia usual de \mathbb{R}: decidir se é aberto, fechado ou nenhum dos dois. Para isso precisamos usar as definições de ponto interior e de ponto aderente (ou ponto de adesão).

Passo 2

Mostramos que \mathbb{Q} não é aberto. De fato, se \mathbb{Q} fosse aberto, todo ponto q\in\mathbb{Q} teria um pequeno intervalo centrado em q contido em \mathbb{Q}. Mas em qualquer intervalo (q-\varepsilon,q+\varepsilon) existem números irracionais, logo (q-\varepsilon,q+\varepsilon)\not\subset\mathbb{Q}. Assim nenhum q\in\mathbb{Q} é ponto interior. Por exemplo, 0\in\mathbb{Q} não é interior, pois todo intervalo ao redor de 0 contém irracionais.

Passo 3

Mostramos que \mathbb{Q} não é fechado. Um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos aderentes (ou seja, todos os limites de sequências de pontos do conjunto). Mas toda vizinhança de um número irracional x\notin\mathbb{Q} contém racionais, então x é ponto aderente de \mathbb{Q} sem pertencer a \mathbb{Q}. Por exemplo, \sqrt{2}\notin\mathbb{Q} é aderente a \mathbb{Q} porque em qualquer intervalo com centro em \sqrt2 há racionais arbitrariamente próximos.

Resposta

\mathbb{Q} não é aberto nem fechado.
Um ponto que não é interior: 0.
Um ponto aderente que não pertence a \mathbb{Q}: \sqrt{2}.

Exercícios relacionados