Dê exemplo de dois conjuntos fechados disjuntos F_{1}, F_{2} tais que
0=\inf \left\{|x-y| \mid x \in F_{1} \text { e } y \in F_{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede dois conjuntos fechados e disjuntos em \mathbb{R} tais que a distância entre eles seja zero, ou seja,
0 = \inf\bigl\{|x - y|\mid x\in F_{1},\;y\in F_{2}\bigr\}.
Vamos usar o conceito de conjunto fechado em \mathbb{R} (contém todos os seus pontos-limite) e a definição de distância entre conjuntos num espaço métrico.

Passo 2

Escolhemos
F_{1} = \mathbb{Z} \qquad\text{e}\qquad F_{2} = \bigl\{\,n + \tfrac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N}\bigr\}.
Cada elemento de F_{2} é um número real isolado, e não há nenhum ponto-limite além dos próprios pontos. Logo, F_{2} é fechado em \mathbb{R} (é um conjunto discreto sem acumulações fora dele). Sabemos também que \mathbb{Z} é fechado.

Passo 3

Verificamos que F_{1} e F_{2} são disjuntos: para todo n\in\mathbb{N},
n + \tfrac{1}{n} \neq k \quad\forall\,k\in\mathbb{Z},
pois 0<1/n<1. Logo não há interseção entre \mathbb{Z} e \{n+1/n\}.

Passo 4

Para cada n\in\mathbb{N}, o ponto de F_{2} mais próximo de algum inteiro é
x = n \in F_{1}, \quad y = n + \tfrac{1}{n} \in F_{2},
e a distância entre eles é
|x - y| = \bigl|n - (n + \tfrac{1}{n})\bigr| = \tfrac{1}{n}.
Como \tfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty, segue
\inf\bigl\{|x - y|\mid x\in F_{1},\,y\in F_{2}\bigr\} = \inf_{n\in\mathbb{N}}\tfrac{1}{n} = 0.

Resposta

Um exemplo é
F_{1} = \mathbb{Z}, \quad F_{2} = \bigl\{\,n + \tfrac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N}\bigr\},
que são fechados, disjuntos, e satisfazem
\inf\bigl\{|x-y|\mid x\in F_{1},\,y\in F_{2}\bigr\}=0.

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