Vamos usar o conceito de conjunto fechado em \mathbb{R} (contém todos os seus pontos-limite) e a definição de distância entre conjuntos num espaço métrico.
Cada elemento de F_{2} é um número real isolado, e não há nenhum ponto-limite além dos próprios pontos. Logo, F_{2} é fechado em \mathbb{R} (é um conjunto discreto sem acumulações fora dele). Sabemos também que \mathbb{Z} é fechado.
Passo 3
Verificamos que F_{1} e F_{2} são disjuntos: para todo n\in\mathbb{N},
n + \tfrac{1}{n} \neq k \quad\forall\,k\in\mathbb{Z},
pois 0<1/n<1. Logo não há interseção entre \mathbb{Z} e \{n+1/n\}.
Passo 4
Para cada n\in\mathbb{N}, o ponto de F_{2} mais próximo de algum inteiro é
x = n \in F_{1}, \quad y = n + \tfrac{1}{n} \in F_{2},