Sejam A=(0,1) e B=\left\{\left.\frac{1}{n} \right\rvert\, n \in \mathbb{N}\right\}. Determine: \bar{A}-\bar{B}
Passo 1
O problema pede para calcular \bar A - \bar B, onde \displaystyle A=(0,1) e \displaystyle B=\bigl\{\tfrac1n\mid n\in\mathbb N\bigr\}.
O conteúdo aqui é topologia elementar em \mathbb R: precisamos usar a definição de fecho (ou aderência) de um conjunto e depois fazer a diferença entre esses fechos.
Passo 2
Vamos achar o fecho de A.
Por definição, \bar A é o menor conjunto fechado que contém A, ou seja, A junto com seus pontos-limite. Em \mathbb R, o intervalo aberto (0,1) tem como pontos-limite exatamente 0 e 1. Logo,
\bar A = [0,1].
Passo 3
Agora o fecho de B.
O conjunto B=\{1,\,1/2,\,1/3,\dots\} é discreto, exceto que a sequência \tfrac1n converge a 0. Portanto 0 é um ponto-limite de B, e não há outros. Assim,
\bar B = B \,\cup\,\{0\} = \bigl\{\tfrac1n\mid n\in\mathbb N\bigr\}\cup\{0\}.
Passo 4
Fazendo a diferença
\bar A - \bar B = [0,1]\;\setminus\;\Bigl(\{0\}\cup\{\tfrac1n\mid n\in\mathbb N\}\Bigr).
Isso elimina de [0,1] o ponto 0 e todos os pontos \tfrac1n. Como 1=\tfrac11, também removemos 1. Portanto resta exatamente