Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se ele é um subespaço do
(o espaço dos polinômios de grau menor que 4). Justifique sua resposta.
O conjunto dos polinômios de grau par em
.
O conjunto dos polinômios de grau par em
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o seguinte conjunto é um subespaço de
: o conjunto
dos polinômios de grau par em
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
-
é o espaço dos polinômios de grau menor que ; portanto os graus possíveis para polinômios em são (além do polinômio zero). - O conjunto em questão
contém exatamente os polinômios de grau par entre esses, ou seja, os polinômios de grau e os de grau (e o polinômio zero, que está em ).
Passo 2
O que significa ser subespaço linear? Vou explicar certinho, devagarinho. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se três condições são satisfeitas:
-
não é vazio (mais usualmente verificamos se ). -
é fechado sob soma: para todos vale . -
é fechado sob multiplicação por escalar: para todo e todo escalar vale .
Essas condições garantem que qualquer combinação linear (soma e escalares) de vetores de
permaneça em
. Se alguma delas falhar,
não é subespaço.
Passo 3
Vamos analisar o conjunto
com mais calma. Polinômios em
têm a forma geral
com coeficientes reais
(nem todos necessários). Em
queremos apenas aqueles cujo grau seja par, isto é:
- polinômios constantes (grau
), por exemplo ; - polinômios quadráticos com coeficiente de
não nulo (grau ), por exemplo .
O polinômio zero está em; embora a definição “grau do polinômio zero” seja um detalhe técnico, para as verificações abaixo não precisamos depender dessa ambiguidade — basta notar que há elementos de grau não nulos em .
Passo 4
Testando a condição de fechamento por soma (essa é a que costuma falhar nesses problemas). Vou construir um contraexemplo explícito — é a forma mais direta e convincente de mostrar que
não é subespaço.
Escolho dois polinômios em
:
Ambos estão em
. Verifico os graus:
-
tem grau (par), então . -
tem termo dominante (coeficiente não nulo), então o grau de é (par), logo .
Agora somo
e
:
O polinômio resultante é
, que tem grau
(ímpar). Logo
.
Passo 5
Interpretação do contraexemplo: encontraram-se
tais que
. Isso mostra que
não é fechado sob adição. Pela definição de subespaço, falhando a condição de fechamento por soma,
não pode ser subespaço de
.
Observação pedagógica rápida e útil: o problema acontece porque ao somar dois polinômios de grau
os termos de grau
podem se cancelar (como aconteceu acima), e o grau resultante pode ser
ou
; portanto a propriedade “ter grau par” não é preservada pela soma.
Resposta
Não, o conjunto dos polinômios de grau par em
não é subespaço de
.