Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se ele é um subespaço do \mathcal{P}_{4} (o espaço dos polinômios de grau menor que 4). Justifique sua resposta.
O conjunto dos polinômios de grau par em \mathcal{P}_{4}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o seguinte conjunto é um subespaço de \mathcal{P}_{4}: o conjunto S dos polinômios de grau par em \mathcal{P}_{4}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • \mathcal{P}_{4} é o espaço dos polinômios de grau menor que 4; portanto os graus possíveis para polinômios em \mathcal{P}_{4} são 0,1,2,3 (além do polinômio zero).
  • O conjunto em questão S contém exatamente os polinômios de grau par entre esses, ou seja, os polinômios de grau 0 e os de grau 2 (e o polinômio zero, que está em \mathcal{P}_{4}).

Passo 2

O que significa ser subespaço linear? Vou explicar certinho, devagarinho. Um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se três condições são satisfeitas:
  1. W não é vazio (mais usualmente verificamos se 0\in W).
  2. W é fechado sob soma: para todos u,v\in W vale u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: para todo u\in W e todo escalar \alpha vale \alpha u\in W.
Essas condições garantem que qualquer combinação linear (soma e escalares) de vetores de W permaneça em W. Se alguma delas falhar, W não é subespaço.

Passo 3

Vamos analisar o conjunto S com mais calma. Polinômios em \mathcal{P}_{4} têm a forma geral
p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3,
com coeficientes reais a_0,a_1,a_2,a_3 (nem todos necessários). Em S queremos apenas aqueles cujo grau seja par, isto é:
  • polinômios constantes (grau 0), por exemplo p(x)=5;
  • polinômios quadráticos com coeficiente de x^2 não nulo (grau 2), por exemplo q(x)=3x^2+2x+1.
    O polinômio zero está em \mathcal{P}_4; embora a definição “grau do polinômio zero” seja um detalhe técnico, para as verificações abaixo não precisamos depender dessa ambiguidade — basta notar que há elementos de grau 2 não nulos em S.

Passo 4

Testando a condição de fechamento por soma (essa é a que costuma falhar nesses problemas). Vou construir um contraexemplo explícito — é a forma mais direta e convincente de mostrar que S não é subespaço.
Escolho dois polinômios em S:
p(x)=x^2\quad\text{e}\quad q(x)=-x^2+x.
Ambos estão em \mathcal{P}_{4}. Verifico os graus:
  • p(x)=x^2 tem grau 2 (par), então p\in S.
  • q(x)=-x^2+x tem termo dominante -x^2 (coeficiente -1 não nulo), então o grau de q é 2 (par), logo q\in S.
Agora somo p e q:
p(x)+q(x)=x^2+(-x^2+x)=x.
O polinômio resultante é x, que tem grau 1 (ímpar). Logo p+q\notin S.

Passo 5

Interpretação do contraexemplo: encontraram-se p,q\in S tais que p+q\notin S. Isso mostra que S não é fechado sob adição. Pela definição de subespaço, falhando a condição de fechamento por soma, S não pode ser subespaço de \mathcal{P}_{4}.
Observação pedagógica rápida e útil: o problema acontece porque ao somar dois polinômios de grau 2 os termos de grau 2 podem se cancelar (como aconteceu acima), e o grau resultante pode ser 1 ou 0; portanto a propriedade “ter grau par” não é preservada pela soma.

Resposta

Não, o conjunto dos polinômios de grau par em \mathcal{P}_{4} não é subespaço de \mathcal{P}_{4}.

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