Quais dos conjuntos a seguir são conjuntos de cobertura para \mathbb{R}^{3} ?
\left\{\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right)\right\}

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto
\displaystyle S=\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}
é um conjunto de cobertura para \mathbb{R}^{3}.
Informações dadas: os três vetores acima.
Pergunta clara: esses vetores geram todo \mathbb{R}^{3} (ou seja, qualquer vetor (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} pode ser escrito como combinação linear deles)?]

Passo 2

Vamos recordar o que significa “conjunto de cobertura” (span, conjunto gerador). Dizer que S é conjunto de cobertura de \mathbb{R}^{3} quer dizer que, para todo vetor arbitrário \displaystyle \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{3}, existem escalares a,b,c\in\mathbb{R} tais que
a\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}.
Se sempre existir solução para a,b,c (para qualquer x,y,z), então S gera \mathbb{R}^3.]

Passo 3

Escrevendo a combinação linear e igualando coordenadas, obtemos a equação em componentes:
a\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a+c\\[4pt]b\\[4pt]b+c\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}.
Isto gera o sistema linear nas incógnitas a,b,c:
\begin{cases} a+c = x,\\[4pt] b = y,\\[4pt] b+c = z. \end{cases}]

Passo 4

Vamos resolver o sistema de forma explícita, mostrando que para quaisquer x,y,z há solução:
  • Da segunda equação vem imediatamente b=y.
  • Substituindo em b+c=z obtemos y+c=z, logo
c = z - y.
  • Substituindo c na primeira equação a+c=x obtemos
a = x - c = x - (z - y) = x + y - z.
Portanto, para qualquer \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} as incógnitas são
a = x + y - z,\qquad b = y,\qquad c = z - y,
ou seja, existe sempre solução única. Como existe solução para qualquer vetor alvo, S gera todo \mathbb{R}^{3}.]

Passo 5

Comentário adicional (verificação direta por determinante): se colocarmos os vetores como colunas na matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix},
o determinante é
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}-0\cdot\det(\cdots)+1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} =1\cdot(1\cdot1-0\cdot1)+1\cdot(0\cdot1-1\cdot0)=1\neq0.
Determinante não nulo implica colunas linearmente independentes e, por terem três vetores em \mathbb{R}^3, formam base — portanto geram \mathbb{R}^3. Isso confirma o resultado do passo anterior.]

Resposta

Sim. O conjunto \left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\} é um conjunto de cobertura de \mathbb{R}^{3}.]

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