Quais dos conjuntos a seguir são conjuntos de cobertura para \mathbb{R}^{3} ? \left\{\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right)\right\}
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto
\displaystyle S=\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}
é um conjunto de cobertura para \mathbb{R}^{3}.
Informações dadas: os três vetores acima.
Pergunta clara: esses vetores geram todo \mathbb{R}^{3} (ou seja, qualquer vetor (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} pode ser escrito como combinação linear deles)?]
Passo 2
Vamos recordar o que significa “conjunto de cobertura” (span, conjunto gerador). Dizer que S é conjunto de cobertura de \mathbb{R}^{3} quer dizer que, para todo vetor arbitrário \displaystyle \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{3}, existem escalares a,b,c\in\mathbb{R} tais que
Determinante não nulo implica colunas linearmente independentes e, por terem três vetores em \mathbb{R}^3, formam base — portanto geram \mathbb{R}^3. Isso confirma o resultado do passo anterior.]
Resposta
Sim. O conjunto \left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\} é um conjunto de cobertura de \mathbb{R}^{3}.]